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2023年(令和5年)山梨大学医学部後期-数学[2](1)

2025.04.06記

[2](1) 関数 $f(x)=x^3-5x^2+6x-6+\dfrac{6}{x}-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}$ （ $x\geqq 1$ ）は， $x=\fbox{　コ　}$ のとき，最小値 $\fbox{　サ　}$ をとる．

2025.04.06記

[解答]
$t=x+\dfrac{1}{x}$ とおくと $t\geqq 2$ における
$f(x)=(t^3-3t)-5(t^2-2)+6t-6$ $=t^3-5t^2+3t+4$ （ $=g(t)$ とおく）
の最小値を求めれば良い．
$g'(t)=3t^2-10t+3=(t-3)(3t-1)$
であるから， $t\geqq 2$ における増減表は

$t$	$2$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$g'(t)$		$-$	$0$	$+$
$g(t)$		$\searrow$	$-5$	$\nearrow$

となり， $t=3$ ，すなわち $x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ （∵ $x\geqq 1$ ）のとき最小値 $=-5$ をとる．よって $\fbox{　コ　}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ ， $\fbox{　サ　}=ー5$ である．

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