https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2023/Igaku_1

2025.04.06記

[1](4) 空間内に $4$ 点 $\mbox{A}(1，2，3)$ ， $\mbox{B}(3，1，4)$ ， $\mbox{C}(2，7，1)$ ， $\mbox{D}(5，7，7)$ がある．直線 $\mbox{AB}$ 上を点 $\mbox{P}$ が動き，直線 $\mbox{CD}$ 上を点 $\mbox{Q}$ が動く．直線 $\mbox{AB}$ と直線 $\mbox{PQ}$ が垂直であり，かつ直線 $\mbox{CD}$ と直線 $\mbox{PQ}$ が垂直であるとき，点 $\mbox{P}$ の座標は $\fbox{　キ　}$ であり，点 $\mbox{Q}$ の座標は $\fbox{　ク　}$ である．ただし，答えに分数があらわれるときは，既約分数にせよ．

2025.04.06記

[解答]
$\mbox{P}(1+2s，2-s，3+s)$ ， $\mbox{Q}(2+3t，7，1+6t)$ とおくことができ，このとき
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}=(1+3t-2s，5+s，-2+6t-s)$
である．これが $(2，-1，1)$ ， $(3，0，6)\parallel (1，0，2)$ に垂直であるから，
$2+6t-4s-5-s-2+6t-s=-5-6s+12t=0$ ， $1+3t-2s-4+12t-2s=-3-4s+15t=0$
が成立する．定数項を消去して $(-18+20)s+(36-75)t=0$ から $s=\dfrac{39}{2}t$ となるので $4s-15t=63t=-3$ となり， $t=-\dfrac{1}{21}$ ， $s=-\dfrac{13}{14}$ となる．

よって $\mbox{P}\left(-\dfrac{6}{7}，\dfrac{41}{14}，\dfrac{29}{14}\right)$ ， $\mbox{Q}\left(-\dfrac{13}{7}，7，\dfrac{5}{7}\right)$ となる．よって $\fbox{　キ　}=\left(-\dfrac{6}{7}，\dfrac{41}{14}，\dfrac{29}{14}\right)$ ， $\fbox{　ク　}=\left(-\dfrac{13}{7}，7，\dfrac{5}{7}\right)$ となる．