https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2023/Igaku_1

2025.04.06記

[1](2) $n$ を自然数とする．中が見えない壺に， $n$ 個の赤玉と $n$ 個の白玉が入っている．この壺の中から $n$ 個の玉を同時に取り出すとき，取り出した白玉が $k$ 個以下となる確率を $P_{n,k}$ と書く．このとき， $P_{4,0} = \fbox{　ウ　}$ であり， $P_{5,1} = \fbox{　エ　}$ であり， $P_{6,2} = \fbox{　オ　}$ である．ただし，すべて既約分数で解答せよ．

2025.04.06記
普通に計算しても大して変わらないが， ${}_{2n}\mbox{C}_{n}=\dfrac{(2n)!}{n!n!}=\dfrac{2^{n}\cdot(2n-1)!!}{n!}$ $=2\cdot \dfrac{2n-1}{n}\cdot{}_{2(n-1)}\mbox{C}_{n-1}$ を利用して計算してみる．

[解答]
取り出した白玉が丁度 $k$ 個となる確率は $\dfrac{{}_{n}\mbox{C}_{k}\cdot {}_{n}\mbox{C}_{n-k}}{{}_{2n}\mbox{C}_{n}}$
$=\dfrac{({}_{n}\mbox{C}_{k})^2}{{}_{2n}\mbox{C}_{n}}$ だから，
$P_{4,0}=\dfrac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}\cdot 1^2=\dfrac{1}{2\cdot 5\cdot 7}\cdot 1=\dfrac{1}{70}$ ，
$P_{5,1}=\dfrac{1}{2\cdot 5\cdot 7}\cdot\dfrac{5}{2\cdot 9}\cdot(1^2+5^2)=\dfrac{1}{4\cdot 7\cdot 9}\cdot 26=\dfrac{13}{126}$ ，
$P_{6,1}=\dfrac{1}{4\cdot 7\cdot 9}\cdot\dfrac{6}{2\cdot 11}\cdot(1^2+6^2+15^2)=\dfrac{1}{3\cdot 4\cdot 7\cdot 11}\cdot 262=\dfrac{131}{462}$
となり， $\fbox{　ウ　}=\dfrac{1}{70}$ ， $\fbox{　エ　}=\dfrac{13}{126}$ ， $\fbox{　オ　}=\dfrac{131}{462}$ となる．