https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2023/Igaku_1

2025.04.06記

[1](1) 一辺の長さが $1$ の正八角形がある．その頂点を反時計回りに $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{F}$ ， $\mbox{G}$ ， $\mbox{H}$ とする．このとき， $\mbox{AC}^2 = \fbox{　ア　}$ であり， $\mbox{AD}^2 = \fbox{　イ　}$ である．ただし，答えが分数のときは，分母を有理化せよ．

2025.04.06記

[解答]
一辺の長さが $1+2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の正方形の中に一辺の長さが $1$ の正八角形が収まることに注意すると，
$\mbox{AC}^2=\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$ $=\dfrac{3+2\sqrt{2}+1}{2}=2+\sqrt{2}$ ，
$\mbox{AD}^2=\mbox{AB}^2\cdot\left(\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\right)^2$ $=(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}$

となり， $\fbox{　ア　}=2+\sqrt{2}$ ， $\fbox{　イ　}=3+2\sqrt{2}$ となる．