https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2023/Igaku

2025.04.06記

[1] 次の問題文の空欄 $\fbox{　ア　}$ から $\fbox{　ケ　}$ にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1) 一辺の長さが $1$ の正八角形がある．その頂点を反時計回りに $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ ， $\mbox{E}$ ， $\mbox{F}$ ， $\mbox{G}$ ， $\mbox{H}$ とする．このとき， $\mbox{AC}^2 = \fbox{　ア　}$ であり， $\mbox{AD}^2 = \fbox{　イ　}$ である．ただし，答えが分数のときは，分母を有理化せよ．

(2) $n$ を自然数とする．中が見えない壺に， $n$ 個の赤玉と $n$ 個の白玉が入っている．この壺の中から $n$ 個の玉を同時に取り出すとき，取り出した白玉が $k$ 個以下となる確率を $P_{n,k}$ と書く．このとき， $P_{4,0} = \fbox{　ウ　}$ であり， $P_{5,1} = \fbox{　エ　}$ であり， $P_{6,2} = \fbox{　オ　}$ である．ただし，すべて既約分数で解答せよ．

(3) $200$ 個から $100$ 個取る組合せの総数 ${}_{200}\mbox{C}_{100}$ を素因数分解したとき， $2$ 桁の素因数の中で最大のものは $\fbox{　カ　}$ である．

(4) 空間内に $4$ 点 $\mbox{A}(1，2，3)$ ， $\mbox{B}(3，1，4)$ ， $\mbox{C}(2，7，1)$ ， $\mbox{D}(5，7，7)$ がある．直線 $\mbox{AB}$ 上を点 $\mbox{P}$ が動き，直線 $\mbox{CD}$ 上を点 $\mbox{Q}$ が動く．直線 $\mbox{AB}$ と直線 $\mbox{PQ}$ が垂直であり，かつ直線 $\mbox{CD}$ と直線 $\mbox{PQ}$ が垂直であるとき，点 $\mbox{P}$ の座標は $\fbox{　キ　}$ であり，点 $\mbox{Q}$ の座標は $\fbox{　ク　}$ である．ただし，答えに分数があらわれるときは，既約分数にせよ．

(5) 実数の組 $(x，y)$ が $|x+2y|\leqq 1$ を満たすとき， $(x-2)^2+(y-1)^2$ の最小値は $\fbox{　ケ　}$ である．

[2] 次の問題文の空欄 $\fbox{　コ　}$ から $\fbox{　ソ　}$ にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1) 関数 $f(x)=x^3-5x^2+6x-6+\dfrac{6}{x}-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}$ （ $x\geqq 1$ ）は， $x=\fbox{　コ　}$ のとき，最小値 $\fbox{　サ　}$ をとる．

(2) 複素数平面上で， $|z+1+i|+|z-1-i|=6$ を満たす点 $z$ の全体を $C$ とする．このとき， $C$ によって囲まれる部分の面積は $\fbox{　シ　}$ である．

(3) $x$ の $8$ 次式 $f(x)$ は整数 $k$ （ $0\leqq k \leqq 8$ ）に対して， $f(k)=\dfrac{k^2}{k+1}$ を満たす．このとき， $f(9)$ の値を既約分数で求めると， $f(9) = \fbox{　ス　}$ である．

(4) $xy$ 平面において， $2$ つの曲線 $y = \sin x$ $\left( \dfrac{\pi}{4} \leqq x \leqq \dfrac{5\pi}{4} \right)$ ， $y = \cos x$ $\left( \dfrac{\pi}{4} \leqq x \leqq \dfrac{5\pi}{4} \right)$ で囲まれた部分の面積は $\fbox{　セ　}$ である．また，この部分を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積は $\fbox{　ソ　}$ である．

[3] $1$ から $10$ までの整数が $1$ つずつ重複せずに書かれた $10$ 枚のカードがある．この中から同時に4枚のカードを取り出すとき，取り出したカードに書かれている数の和が $20$ 以下となる確率を求めよ．

[4] 整数の組 $(x，y，z)$ が次の $2$ つの式をともに満たすとき， $(x，y，z)$ は $(\ast)$ を満たす整数の組であるという．

$(\ast)$ 　 $x^2+y^2+z^2-3xyz=0$ ， $0\lt x\lt y\lt z$

例えば， $(1，2，5)$ は $(\ast)$ を満たす整数の組である．

(1) $(2，5，a)$ が $(\ast)$ を満たす整数の組となるような整数 $a$ を求めよ．

(2) 次の条件(i)，(ii)をともに満たす数列 $\{a_n\}$ が存在することを示せ．

(i) $a_1=1$ ， $a_2=2$ である．

(ii) 任意の自然数 $n$ に対して， $(a_n，a_{n+1}，a_{n+2})$ は $(\ast)$ を満たす整数の組である．

(3) (2)の数列 $\{a_n\}$ はただ $1$ つである．この数列 $\{a_n\}$ について， $a_n$ が偶数となる $n$ をすべて求めよ．

[5] $0$ 以上の整数 $n$ に対し，関数 $f_n(x)$ を

$f_0(x) = 1$ ， $f_1(x) = x$ ， $f_{n+2}(x)=2xf_{n+1}(x)-f_{n}(x)$ （ $n=0，1，2，\cdots$ ）

により定める．

(1) $0$ 以上の整数 $n$ と任意の実数 $\theta$ に対し，等式 $f_n(\cos \theta) = \cos n\theta$ が成り立つことを示せ．

(2) 自然数 $p，q，x$ に対し， $I_{p,q}=\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f'_{3p}(x) f'_{3q}(x)\sqrt{1-x^2}\, dx$ を求めよ．ただし， $f'_n(x)$ は $f_n(x)$ の導関数である．