https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2008/Igaku

2022.11.03記

[4] 関数 $f(x)$ ， $g(x)$ をそれぞれ
$f(x)=\sin x$ ， $g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-|x| & (|x|\leqq 1のとき) \\ 0 & (|x|\gt 1のとき) \end{array}\right.$
とする．また $b$ を $0\lt b\lt \pi$ となる定数とし，正の実数 $a$ に対して
$I(a)=\displaystyle\int_{-2a+b}^{2a+b} f(x)g\left(\dfrac{x-b}{a}\right)$ を考える．
このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $I(a)$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{a\to+0}\dfrac{I(a)}{a}$ を求めよ．

(3) $h(x)=x\sin x+\cos x-1$ とする．方程式 $h(x)=0$ は $\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt \pi$ においてただ1つの実数解をもつことを示せ．また，この解を $x=c$ とするとき， $a\gt 0$ における $I(a)$ の最大値は $2(\sin b)(\sin c)$ であることを示せ．

(4) 正の実数 $a$ に対して $J(a)=\displaystyle\int_{-a}^a g\left(\dfrac{x}{a}\right)\cos x dx$ とおく． $a\gt 0$ における $J(a)$ の最大値は $2\sin c$ であることを示せ．ただし， $c$ は(3)で定めた値である．

本問のテーマ

ディラックのデルタ関数

2022.11.03記
$g\Bigl(\dfrac{x-b}{a}\Bigr)$ は $a\to +0$ で $\delta$ 関数に収束する．大学で習う公式
$\displaystyle\int f(x)\delta(x-b)dx=f(b)$
を用いると，(2)の答は $f(b)=\sin b$ となることがすぐにわかる．

[解答]
(1) $x=ay+b$ と置換すると， $dx=a\, dy$ であり，
$I(a)=\displaystyle\int_{-2a+b}^{2a+b}f(x)g\Bigl(\dfrac{x-b}{a}\Bigr)dx =\displaystyle\int_{-2}^{2}f(ay+b)g(y)\cdot a\cdot dy$
$=a\displaystyle\int_{-1}^{0}(1+y)\sin(b+ay)dy+a\displaystyle\int_{0}{1}(1+y)\sin(b+ay)dy$
$=a\displaystyle\int_{0}^{1}(1-y)\sin(b-ay)dy+a\displaystyle\int_{0}{1}(1+y)\sin(b+ay)dy$
$=2a\sin b\displaystyle\int_{0}^{1}(1-y)\cos(ay)dy…（♪）$
$=2\sin b\displaystyle\int_{0}^{a}\Bigl(1-\dfrac{z}{a}\Bigr)\cos z dz=…=2\sin b\cdot \dfrac{1-\cos a}{a}$

(2) $\displaystyle\lim_{a\to+0}\dfrac{1-\cos a}{a^2} =\displaystyle\lim_{a\to+0}\dfrac{\sin^2 a}{a^2(1+\cos a)}=\dfrac{1}{2}$
より，
$\displaystyle\lim_{a\to+0}\dfrac{I(a)}{a}=\displaystyle\lim_{a\to+0}\dfrac{2\sin b(1-\cos a)}{a^2}$ $=\dfrac{2\sin b}{2}=\sin b$

(3) $h'(x)=x\cos x$ により， $h(x)$ は $0\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$ で正， $x=\dfrac{\pi}{2}$ で $0$ ， $\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt \pi$ で負となるので， $h(x)$ の $0\leqq x\leqq \pi$ における増減表は次のようになる．

$x$	$0$	…	$\dfrac{\pi}{2}$	…	$\pi$
$h'(x)$		$+$	$0$	$-$
$h(x)$	$0$	$\nearrow$	$\dfrac{\pi}{2}-1（\gt 0）$	$\searrow$	$-2$

$h(0)=0$ から単調増加で $h\Bigl(\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=\dfrac{\pi}{2}-1\gt 0$ で極大となり，単調減少して $h(\pi)=-2\lt 0$ で極小となる．よって，中間値の定理により $\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt \pi$ に $h(x)=0$ なる $x$ が唯一存在する．

$I(a)$ の分子 $1-\cos a$ は周期 $2\pi$ で非負であるから，
$I(a+2\pi)=\dfrac{1-\cos (a+2\pi)}{a+2\pi}$ $=\dfrac{1-\cos a}{a+2\pi}\leqq \dfrac{1-\cos a}{a}=I(a)$
が成立するので．よって $I(a)$ は $0\lt a\lt 2\pi$ において最大値をとる（等号が成立する条件は $I(a)=0$ であるが，これが最大値になることはない）．

また， $0\lt a\leqq \pi$ において
$I(2\pi-a)=\dfrac{1-\cos (2\pi-a)}{2\pi-a}$ $=\dfrac{1-\cos a}{2\pi-a}\leqq \dfrac{1-\cos a}{a}=I(a)$
でもあるから， $I(a)$ は $0\lt a\lt \pi$ において最大値をとる（等号が成立する条件は $a=\pi$ であるが，これは定義域に含まれる）．

一方， $I'(a)=2\sin b\cdot\dfrac{a\sin a+\cos a-1}{a^2}=2\sin b\cdot\dfrac{h(a)}{a^2}$
であり，これは $a=c$ の前後で符号を正から負に変えるので極大であり最大となる．

この $c$ は $c\sin c+\cos c-1=0$ をみたすので，
$\dfrac{1-\cos c}{c}=\sin c$
となり，
$I(c)=2(\sin b)(\sin c)$
となる．

(4) $ay=x$ と置換すると $dx=ady$ であり，
$J(a)=\displaystyle\int_{-a}^{a}g\Bigl(\dfrac{x}{a}\Bigr)\cos x dx$
$=\displaystyle\int_{-1}^{1}g(y)\cos(ay)(ady)=a\displaystyle\int_{-1}^{1}g(y)\cos(ay)dy$
となる． $g(y)$ ， $\cos(ay)$ は偶関数により
$J(a)=2a\displaystyle\int_{0}^{1}(1-y)\cos(ay)dy$
となる．(1)の
$I(a)=2a(\sin b)\displaystyle\int_0^1(1-y)\cos(ay)dy$
と比較して
$J(a)=\dfrac{1}{\sin b}I(a)$
が成立する．よって $J(a)$ は $a=c$ で最大値 $2\sin c$ をとる