https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Yamanashi/2005/Igaku

2022.11.03記

[2] $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ を，実数を成分とする逆行列をもつ行列とし， $B=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ ， $C=-A^{-1}B$ とする．また，実数 $x$ ， $y$ に対して，行列 $(x\quad y)$ ， $A$ ， $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を用いて $f(x,y)=(x\quad y)A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ および $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=C\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とする．次の問いに答えよ．

(1) $f(x,y)=\dfrac{1}{2}(x\quad y)(A+B)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ および $f(x,y)=f(x',y')$ を示せ．

(2) すべての実数 $x，y$ に対して， $f(x,y)\geqq 0$ が成り立つとする．実数 $u，v$ が $f(u,v)=0$ を満たしているならば， $(A+B)\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であることを示せ．

(3) $a=b=c=1，d=2$ のとき， $f(x,y)=1$ を満たす整数 $x,y$ の組をすべて求めよ．

(4) $ad\neq 0$ とする． $x=y=0$ 以外のすべての実数 $x,y$ に対して， $f(x,y)\gt 0$ となるための必要十分条件を $a，b，c，d$ を用いた不等式で表せ．

(5) $ad\neq 0$ で(4)の不等式が成り立つとする．このとき，正の定数 $k$ に対して $f(x,y)\lt k^2$ を満たす整数 $x,y$ の組は有限個であることを示せ．

2022.11.03記
(1)は(2)で使うための誘導なのかも知れないが思いつかなかった
（はじめから対称行列で出題しないので，何かあるのだろうと思うのだが）．

[解答]
(1) $f(x,y)=(x\quad y)A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を1×1行列とみて転置をとると
$f(x,y)=(x\quad y)B\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が成立するので，この2つの平均をとると
$\dfrac{1}{2}(x\quad y)(A+B)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=f(x,y)$
となる．

一方，
$f(x',y')=(x\quad y)C^{\top} AC\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$=(x\quad y)B^{\top} A^{-\top} A A^{-1} B\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$=(x\quad y)B^{\top} A^{-\top} B\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$=(x\quad y)A A^{-\top} A^{\top}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
$=(x\quad y)A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=f(x,y)$
である．

(2) $\dfrac{b+c}{2}=e$ とおき， $D=\dfrac{1}{2}(A+B)=\begin{pmatrix} a & e \\ e & d \end{pmatrix}$ （対称行列）とおくと，
$f(x,y)=(x\quad y)D \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成立する．このとき，すべての実数 $x，y$ に対して， $f(x,y)\geqq 0$ が成り立つとする．実数 $u，v$ が $f(u,v)=0$ を満たしているならば， $D\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であることを示せばよい．

$f(x,y)=ax^2+2exy+dy^2\geqq 0$ がすべての実数に対して成立する．
(i) $a=d=0$ のとき：
$(x,y)=(1,-1)$ の場合を考えれば $e=0$ が必要で，このとき $D$ は零行列かつ $f(x,y)$ は恒等的に 0 となるので題意をみたす．

(ii) $a\neq 0$ ， $d=0$ のとき：
$f(x,y)=x\{ax+2ey\}\geqq 0$ が任意の $x,y$ について成立するには $a\gt0，e=0$ が必要で，このとき　 $f(u,v)=0$ を満たしているならば， $u=0$ であり，このとき
$D\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ である．

(iii) $a=0$ ， $d\neq 0$ のとき：
(ii) で $x$ と $y$ ， $u$ と $v$ を入れ替えた状況であるから題意は成立する．

(iv) $a\neq 0$ ， $d\neq 0$ のとき：
$(x,y)=(1,0)，(0,1)$ の場合を考えれば $a\gt0，d\gt 0$ が必要で，かつ判別式に相当する
$e^2\leqq ad$
をみたすことが必要十分条件である．

(a) $e^2\lt ad$ のとき： $f(u,v)=0$ となるのは $u=v=0$ のときだけであり，このとき
$D\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$ $=D\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ である．

(b) $e^2=ad$ のとき：
$f(u,v)=au^2+2euv+dv^2=(\sqrt{a}u\pm \sqrt{d}v)^2=0$ となるのは，以下複号同順で
$\sqrt{a}u\pm \sqrt{d}v=0$ のときだけであり，このとき
$D\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} a & \pm\sqrt{ad} \\ \pm\sqrt{ad} & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} \sqrt{a}(\sqrt{a}u\pm \sqrt{d}v) \\ \sqrt{d}(\sqrt{a}u\pm \sqrt{d}v) \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ である．

以上によりすべての場合が尽くされたので題意は成立する．

(3) $x^2+2xy+2y^2=(x+y)^2+y^2=1$ であるから $(x,y)=(1,0)，(-1,0)，(1,-1)，(-1,1)$ の4組

(4) (2)の結果から， $a\gt 0$ かつ $d\gt 0$ かつ $(b+c)^2\lt 4ad$

(5) $f(x,y)=a(x-e/a)^2+\dfrac{ad-e^2}{a}y^2\lt k^2$ より $-k+\dfrac{e}{a}\lt x\lt k+\dfrac{e}{a}$ が必要で，
同様に $-k+\dfrac{e}{d}\lt y\lt k+\dfrac{e}{d}$ が必要であるから，これらの条件をみたす $(x,y)$ は有限個となり，求める整数の組の個数はその部分集合であるから，やはり有限個である．

[別解]
(2) $\dfrac{b+c}{2}=e$ とおき， $D=\dfrac{1}{2}(A+B)=\begin{pmatrix} a & e \\ e & d \end{pmatrix}$ （対称行列）とおくと，
$f(x,y)=(x\quad y)D \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成立する．このとき，すべての実数 $x，y$ に対して， $f(x,y)\geqq 0$ が成り立つとする．実数 $u，v$ が $f(u,v)=0$ を満たしているならば， $D\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であることを示せばよい．

$\vec{u}:=\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ のときは題意が成立するので，以下 $\vec{u}\neq\vec{0}$ とする．このとき $\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$ と互いに一次独立なベクトル $\vec{s}=\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$ を選ぶことができ，平面上の任意のベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=p\vec{u}+q\vec{s}$ （ $p,q$ は実数）と表現できる．

このとき $f(x,y)=p^2 f(s,t)+2pq \vec{s}^{\top} D\vec{u}+q^2f(u,v)$
$=p^2 f(s,t)+2pq \vec{s}^{\top} D\vec{u}\geqq 0$
が任意の $p，q$ について成立する．

ここで $p\neq 0$ のとき $f(s,t)\geqq -\dfrac{q}{p} \vec{s}^{\top} D\vec{u}$ となるが， $\vec{s}^{\top} D\vec{u}\neq 0$ とすると左辺は定数にもかかわらず，右辺をいくらでも大きくするような $p，q$ を選ぶことができるので，この不等式が任意の $p，q$ について成立することに矛盾する．よって $\vec{s}^{\top} D\vec{u}=0$ が成立する．
これと $f(u,v)=\vec{u}^{\top} D\vec{u}=0$ から
$(x\quad y)D\vec{u}=(p\vec{u}+q\vec{s})^{\top} D\vec{u}=p\cdot 0+q\cdot 0=0$
が任意の任意のベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ について成立する．よって $D\vec{u}=\vec{0}$ となり題意が証明された．

(2) 非負定値2次形式が0となるのは，そのベクトルが固有値0の固有空間にあるときだけである，ということの証明．

[大人の解答]
(1) は[解答]が既に大人の解答になっている．

(2) 実対称行列 $D=\dfrac{1}{2}(A+B)$ は直交行列を用いて対角化でき，
$D=(\vec{u}\quad\vec{v})\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \vec{u}^{\top} \\ \vec{v}^{\top} \end{pmatrix}$ となったとする．

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=p\vec{u}+q\vec{v}$ とすると $f(x,y)=\alpha p^2+\beta q^2$ であるから，これが非負である条件は $\alpha,\beta\geqq 0$ である．

このとき， $f(x,y)=\alpha p^2+\beta q^2=0$ ならば $\alpha p=\beta q=0$ であるから，
$D\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\alpha p\vec{u}+\beta q\vec{v}=\vec{0}$ が成り立つ．

(4) $\alpha\gt0$ ， $\beta\gt 0$ が必要十分条件であるから， $D$ のトレースと行列式が正であれば良く， $a+d\gt 0$ ， $ad-\dfrac{(b+c)^2}{4}\gt 0$ である．

注) 後者の条件から $ad\gt 0$ が得られ，これと $a+d\gt 0$ から $a\gt0$ ， $d\gt 0$ が成り立つ( $a,d$ は実数なので)．

(5) は[解答] と同じ，もしくは $f(x,y)\lt k^2$ は楕円の内部を表すので，その中にある格子点は有限個．