https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2026/Rikou

2026.02.19.22:56:27記

[5] 関数 $f(x)=x\log x$ について，以下の問に答えよ．ただし， $\log$ は自然対数， $e$ は自然対数の底を表す．必要ならば， $\displaystyle\lim_{x\to+0} x\log x= 0$ を用いてよい．

(1) $y = f(x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．

(2) 実数 $a$ に対して， $g(x) = ax - 1$ とする．曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ の共有点の個数は， $a$ の値によってどのように変わるか調べよ．

(3) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ の共有点の個数が $1$ 個のとき，曲線 $y = f(x)$ ，直線 $y = g(x)$ および直線 $x=\dfrac{1}{e}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ．

2026.02.20.03:57:31記

[解答]
(1) $f'(x)=\log x+1=\log(ex)$ に注意して増減表を書くと

$x$	$(0)$	$\cdots$	$1/e$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$		$+$	$+\infty$
$x$	$(0)$	$\searrow$	$-1/e$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

となるのでグラフは次図．

(2) $f'(x)=\log x+1$ ， $f''(x)=\dfrac{1}{x}$ であるから $x\gt 0$ で $f''(x)\gt 0$ となり， $y=f(x)$ は下に凸である．

$y=f(x)$ の $x=t$ における接線の方程式は $y=(\log t+1)(x-t)+t\log t$ $=(\log t +1)x-t$ であり，これが $(0，-1)$ を通るのは $t=1$ のときで，その接線の方程式は $y=x-1$ となる．

よって $a\lt 1$ のとき $0$ 個， $a=1$ のとき $1$ 個， $a\gt 1$ のとき $2$ 個となる．

(3) $a=1$ より $g(x)=x-1$ である．よって求める体積はバームクーヘン分割により
$\displaystyle\int_{1/e}^1 2\pi x (x\log x-x+1)\, dx$
$=2\pi\Bigl[\dfrac{x^3\log x}{3}-\dfrac{x^3}{9}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2} \Bigr]_{1/e}^1$
$=2\pi\Bigl[\dfrac{x^3\log x}{3}-\dfrac{4x^3}{9}+\dfrac{x^2}{2}\Bigr]_{1/e}^1$
$=2\pi\left(\dfrac{1}{3e^3}-\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9e^3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2e^2}\right)$
$=2\pi\left(\dfrac{7}{9e^3}-\dfrac{1}{2e^2}+\dfrac{1}{18}\right)$
$=\pi\left(\dfrac{14}{9e^3}-\dfrac{1}{e^2}+\dfrac{1}{9}\right)$
となる．

$\displaystyle\int x^2\log x\, dx$ は本来の瞬間部分積分で
$\left(\dfrac{x^3}{3}\log x\right)'=x^2\log x+\dfrac{x^2}{3}$
を頭の中で計算してから
$\displaystyle\int x^2\log x\, dx=\dfrac{x^3}{3}\log x-\dfrac{x^3}{9}+(積分定数)$
と暗算で求めました．