https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2026/Rikou

2026.02.19.22:56:27記

[3] 座標空間内に点 $\mbox{A}(0，0，1)$ ，点 $\mbox{B}(1，1，0)$ ，および実数 $a$ を用いて表される点 $\mbox{P}(a，0，0)$ をとる．さらに，2点 $(0，2，0)$ ， $(0，0，2)$ を通る直線を $\ell$ として， $3$ 点 $\rm A，B，P$ が定める平面と直線 $\ell$ との交点を $\mbox{Q}$ とする．

(1) 点 $\mbox{Q}$ の座標を $a$ を用いて表せ．

(2) $4$ 点 $\rm A，B，P，Q$ が四角形 $\mbox{APBQ}$ を成し，線分 $\mbox{AB}$ と線分 $\mbox{PQ}$ が交わるための $a$ の条件を求めよ．

(3) が (2) の条件を満たすとき，四角形 $\mbox{APBQ}$ の面積を $a$ を用いて表せ．

本問のテーマ

直線と線分が交わる条件（正領域・負領域）
四面体の体積と行列式

2026.02.20.02:17:10記
$\rm A，B，P$ が定める平面の式は $y$ 切片を $K$ とおくと $\rm A，P$ の座標から $\dfrac{x}{a}+Ky+z=1$ と書けそうで， $\rm B$ の座標から $K=\dfrac{a-1}{a}$ であることがわかります．

[解答]
(1) 平面 $x+(a-1)y+az=a$ 上に異なる $3$ 点 $\rm A，B，P$ があるので，これが $\rm A，B，P$ が定める平面の方程式である．直線 $\ell$ は $x=0$ かつ $y+z=2$ であることから $\mbox{Q}(0，q，2-q)$ とおくと $0+(a-1)q+a(2-q)=a$ から $q=a$ となり，よって $\mbox{Q}(0，a，2-a)$ となる．

(2) $\overrightarrow{\mbox{AB}}=(1，1，-1)$ ， $\overrightarrow{\mbox{AP}}=(a，0，-1)$ ， $\overrightarrow{\mbox{AQ}}=(0，a，1-a)$ であるから， $\overrightarrow{\mbox{AP}}+\overrightarrow{\mbox{AQ}}=a\overrightarrow{\mbox{AB}}$ が成立する．ここで $\mbox{P}\neq \mbox{Q}$ かつ $\mbox{A}\neq \mbox{B}$ である． $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{M}$ とすると $\overrightarrow{\mbox{AM}}=\dfrac{a}{2}\overrightarrow{\mbox{AB}}$ となるので，求める条件は直線 $\mbox{AB}$ 上に $\rm A，M，B$ の順番に並ぶこととなる．よって $0\lt \dfrac{a}{2}\lt 1$ ，つまり $0\lt a\lt 2$ となる．

(3) 求める面積は $\triangle\mbox{ABP}$ の $2$ 倍であり $\triangle\mbox{ABP}$ を $xy$ 平面に正射影した三角形の面積が $\dfrac{a}{2}$ ， $\rm A，B，P$ が定める平面の式と $xy$ 平面のなす角の余弦が $\dfrac{a}{\sqrt{1^2+(a-1)^2+a^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2(a^2-a+1)}}$ であることから，求める面積は $2\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2(a^2-a+1)}}{a}=\sqrt{2(a^2-a+1)}$ となる．

$\mbox{Q}$ が平面 $\mbox{ABP}$ （ $\rm A，B，P$ は異なる $3$ 点）上にあるとき $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\alpha\overrightarrow{\mbox{OA}}+\beta\overrightarrow{\mbox{OB}}+\gamma\overrightarrow{\mbox{OP}}$ （ $\alpha+\beta+\gamma=1$ ）なる実数 $\alpha，\beta，\gamma$ が存在します．また $\mbox{Q}$ が直線 $\mbox{ST}$ （ $\rm S，T$ は異なる $2$ 点）上にあるとき $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=s\overrightarrow{\mbox{OS}}+t\overrightarrow{\mbox{OT}}$ （ $s+t=1$ ）なる実数 $s，t$ が存在します．

[別解]
(1) $\alpha(0，0，1)+\beta(1，1，0)+\gamma(a，0，0)=s(0，2，0)+t(0，0，2)$ を満たす $\alpha+\beta+\gamma=1$ ， $s+t=1$ なる値を探せば良い．

$\beta+a\gamma=0$ ， $\beta=2s$ ， $\alpha=2t$ から $\alpha+\beta=2(s+t)=2$ となるので $\gamma=-1$ となり， $\beta=a$ ， $\alpha=2-a$ が得られ， $\mbox{Q}(0，a，2-a)$ を得る．

(2)(3) 略

外積やスカラー三重積を用いると次のようになります．

[大人の解答]
(1) $\ell$ 上の点より $\mbox{Q}(0，q，2-q)$ と表すことができる． $\overrightarrow{\mbox{AB}}=(1，1，-1)$ ， $\overrightarrow{\mbox{AP}}=(a，0，-1)$ ， $\overrightarrow{\mbox{AQ}}=(0，q，1-q)$ である．このとき
$\mbox{det}(\overrightarrow{\mbox{AB}}，\overrightarrow{\mbox{AP}}，\overrightarrow{\mbox{AQ}})$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 1 & 0 & q \\ -1 & -1 & 1-q \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & -a & q \\ 0 & a-1 & 1-q \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & -a & q \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & q-a & q \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $=q-a$ により $\mbox{Q}$ が平面 $\mbox{ABP}$ 上にあるのは $q=a$ のときであり，よって $\mbox{Q}(0，a，2-a)$ である．

(2) $\overrightarrow{\mbox{AB}}\times\overrightarrow{\mbox{AP}}=(-1，1-a，-a)$ ， $\overrightarrow{\mbox{AB}}\times\overrightarrow{\mbox{AQ}}=(1，a-1，a)=-\overrightarrow{\mbox{AB}}\times\overrightarrow{\mbox{AP}}$ から直線 $\mbox{AB}$ に対して $\rm P，Q$ は必ず反対側にある．
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}\times\overrightarrow{\mbox{PA}}=(-a，a，2-a)\times (-a，0，1)=a(1，a-1，a)$ ，
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}\times\overrightarrow{\mbox{PB}}=(-a，a，2-a)\times (1-a，1，0)=(a-2)(1，a-1，a)$ により直線 $\mbox{PQ}$ に対して $\rm A，B$ が反対側にあるための必要十分条件は $a$ と $a-2$ が異符号，つまり $0\lt a\lt 2$ である．

以上から求める必要十分条件は $0\lt a\lt 2$ である．

(3) $\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mbox{AB}}\times\overrightarrow{\mbox{AQ}}|+\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mbox{AB}}\times\overrightarrow{\mbox{AP}}|$ $=\sqrt{1+(1-a)^2+(-a)^2}$ $=\sqrt{2(a^2-a+1)}$
である．

■ (3) は $\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mbox{PQ}}\times\overrightarrow{\mbox{PA}}|+\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mbox{PQ}}\times\overrightarrow{\mbox{PB}}|$ $=\dfrac{a+(2-a)}{2}\sqrt{1+(1-a)^2+(-a)^2}$ $=\sqrt{2(a^2-a+1)}$
（ $0\lt a\lt 2$ より $|a|=a，|a-2|=2-a$ となる）としても良いでしょう．

■ $\overrightarrow{\mbox{AB}}\times\overrightarrow{\mbox{AP}}=-\overrightarrow{\mbox{AB}}\times\overrightarrow{\mbox{AQ}}$ から $\mbox{PQ}$ の中点が直線 $\mbox{AB}$ 上にあることがわかり，同様に $\mbox{AB}$ を $a:(2-a)$ に内分する点が直線 $\mbox{PQ}$ 上にあることがわかります．

■ (1) で $\rm A，B，P，Q$ が同一平面上にあることから，
$\overrightarrow{\mbox{AB}}\times\overrightarrow{\mbox{AP}}\parallel \overrightarrow{\mbox{AB}}\times\overrightarrow{\mbox{AQ}}$
となることは明らかです．よって外積を真面目に計算しなくても，例えば第 $1$ 成分だけを見れば十分です（但しそれが $0=0$ となってなければですが）．

2026.03.30記
「他人の褌で相撲をとる」です．

行列式を少しいじるだけで、辺の長さや辺のなす角から四面体の体積を出す色々な公式が得られます。
n次元単体にも一般化可能で、2次元のヘロンの公式もその一種と捉えられます。
早稲田の過去問を例に適用しました。本来は四面体の特徴を捉えないと大変な問題ですが、それが機械的に解けてしまいます。 pic.twitter.com/CT5IefOrtZ
— 佐久間 (@keisankionwykip) 2026年3月28日

自分のも参照しておきます．
四面体の体積を求めるオイラーの公式 - 球面倶楽部零八式 mark II

なお，4面体の4頂点の座標からなる Cayley-Menger 行列 $X$ の行列式は
${\rm det} \begin{pmatrix} 2a^2 & a^2+b^2-z^2 & c^2+a^2-y^2 \\ a^2+b^2-z^2 & 2b^2 & b^2+c^2-x^2 \\ c^2+a^2-y^2 & b^2+c^2-x^2 & 2c^2 \\ \end{pmatrix}$
に等しいことが知られている．