https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2026/Rikou

2026.02.19.22:56:27記

[1] 次の関数 $f(x)$ について，以下の問に答えよ．
$f(x)=8^x-\dfrac{15}{2}\cdot 4^x+\dfrac{63}{4}\cdot 2^x -\dfrac{57}{8}$

(1) $f(x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ．

(2) (1) で求めた $M，m$ に対して， $a\leqq x\leqq b$ における $f(x)$ の最大値が $M$ ，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a，b)$ のうち， $b-a$ が最小となる組を求めよ．

2026.02.19.23:22:31記
分母が $1，2，4，8$ となるので $X=2^x$ ではなく $X=2^{x+1}$ と置きます．

3次関数が「2×4の箱」に閉じ込められる事実を使うと楽です．

[解答]
$X=2^{x+1}$ （ $X\gt 0$ ）とおき
$8f(x)=g(X)=X^3-15X^2+63X-57$
とおくと， $g'(X)=3(X-3)(X-7)$ であるから， $g(X)$ の増減表は

$X$	$(0)$	$\cdots$	$3$	$\cdots$	$7$	$\cdots$
$g'(X)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(X)$	$(-57)$	$\nearrow$	$24$	$\searrow$	$-8$	$\nearrow$

となる．よって $M=\dfrac{24}{8}=3$ ， $m=\dfrac{-8}{8}=-1$ となる．

(2) $g(1)=-8=g(7)$ ， $g(9)=24=g(3)$ であるから題意を満たす区間は $1\leqq X\leqq 3$ ， $3\leqq X\leqq 7$ ， $7\leqq X\leqq 9$ のいずれかとなる（他の場合はこの $3$ つの区間の少くとも1つは含まなければならないので）．

ここで $X$ の区間の幅の大小と $x$ の区間の幅の大小は一般に異なるので $X$ の不等式を $x$ の不等式に直すと
$\log_2\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq\log_2\dfrac{3}{2}$ ， $\log_2\dfrac{3}{2}\leqq x\leqq \log_2\dfrac{7}{2}$ ， $\log_2\dfrac{7}{2}\leqq x\leqq \log_2\dfrac{9}{2}$ となり，区間幅は順番に $\log_2 3$ ， $\log_2 \dfrac{7}{3}$ ， $\log_2 \dfrac{9}{7}$ となるので最小となるのは $\log_2$ の引数が最小となる $\log_2\dfrac{9}{7}$ のときであり，区間が
$\log_2\dfrac{7}{2}\leqq x\leqq \log_2\dfrac{9}{2}$
の場合である．よって $(a，b)=(\log_2 7-1，2\log_2 3-1)$ となる．