https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2026/Rikou

2026.02.19.22:56:27記

[1] 次の関数 $f(x)$ について，以下の問に答えよ．
$f(x)=8^x-\dfrac{15}{2}\cdot 4^x+\dfrac{63}{4}\cdot 2^x -\dfrac{57}{8}$

(1) $f(x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ．

(2) (1) で求めた $M，m$ に対して， $a\leqq x\leqq b$ における $f(x)$ の最大値が $M$ ，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a，b)$ のうち， $b-a$ が最小となる組を求めよ．

[2] $k$ を自然数とする．方程式
$\sqrt{m-\sqrt{n}}+\sqrt{m+\sqrt{n}}-\dfrac{1}{k}\sqrt{mn}=0$
を満たす自然数の組 $(m，n)$ を自然数解と呼ぶ．以下の問に答えよ．

(1) 自然数解 $(m，n)$ が存在するならば， $2k^2\leqq n \lt 4k^2$ であることを示せ．

(2) それぞれの $k$ に対して，自然数解が少なくとも $1$ つ存在し，その個数は $\sqrt{2}k$ より小さいことを示せ．

(3) $k=3$ のとき，自然数解をすべて求めよ．

[3] 座標空間内に点 $\mbox{A}(0，0，1)$ ，点 $\mbox{B}(1，1，0)$ ，および実数 $a$ を用いて表される点 $\mbox{P}(a，0，0)$ をとる．さらに，2点 $(0，2，0)$ ， $(0，0，2)$ を通る直線を $\ell$ として， $3$ 点 $\rm A，B，P$ が定める平面と直線 $\ell$ との交点を $\mbox{Q}$ とする．

(1) 点 $\mbox{Q}$ の座標を $a$ を用いて表せ．

(2) $4$ 点 $\rm A，B，P，Q$ が四角形 $\mbox{APBQ}$ を成し，線分 $\mbox{AB}$ と線分 $\mbox{PQ}$ が交わるための $a$ の条件を求めよ．

(3) が (2) の条件を満たすとき，四角形 $\mbox{APBQ}$ の面積を $a$ を用いて表せ．

[4] $a(1)=2$ とし， $a(2)$ ， $a(3)$ ， $a(4)$ ， $\cdots$ を次の関係で定める．
$a(2n)=3a(n)+1$ ， $a(2n +1)=3a(n)+2$ （ $n =1，2，\cdots$ ）

以下の問に答えよ．

(1) $a(7)$ ， $a(9)$ を求めよ．

(2) 自然数 $n$ に対して， $a(2^n +1)$ は， $1$ または $2$ のいずれかの値をとるような $b_0，b_1，…，b_n$ を用いて，
$a(2^n+1)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_k\cdot 3^k$
と表せる． $b_0，b_1，…，b_n$ をそれぞれ求めよ．