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2025.02.17記

[5] $xy$ 平面上の曲線 $C:\,y=\sqrt[3]{x^2+2}$ を考え， $C$ 上の $(0，\sqrt[3]{2})$ 以外の点 $(a，b)$ における接線を $l:\, y=kx+c$ と表す． $C$ と $l$ の方程式から $x$ を消去して得られる $y$ についての $3$ 次方程式 $f(y)=0$ は $b$ を重解としてもつので，もう1つの解を $b'$ とする．ただし， $b$ が $3$ 重解のときは $b'=b$ とみなす．次の問いに答えよ．

(1) $2b+b'$ を $k$ のみの分数式で表せ．

(2) $b'$ を $b$ のみの分数式で表せ．

(3) $C$ と $l$ の共有点で，その $y$ 座標が $b'$ であるものを $\mbox{P}'(a'，b')$ とする． $a，b$ が有理数ならば， $a'，b'$ も有理数であることを示せ．

(4) $b$ が奇数 $p，q$ と負でない整数 $r$ を用いて $b=\dfrac{p}{2^rq}$ で与えられるとする．有理数 $b'$ を奇数 $p'，q'$ と整数 $s$ を用いて $b'=\dfrac{p'}{2^sq'}$ と表すとき， $s$ を $r$ の式で表せ．

(5) $\mbox{P}(5，3)$ が曲線 $C$ 上の点であることを利用して，曲線 $C$ 上に $x$ 座標と $y$ 座標がともに有理数であるような点が無数に存在することを示せ．

本問のテーマ

有理係数の楕円曲線上の有理点

2025.02.17記
有理係数の楕円曲線上の有理点．楕円曲線上の2つの有理点 $\rm P，Q$ を通る直線と楕円曲線が交点を持てば解と係数の関係からその交点 $\rm R'$ も有理点となる． $\rm R'$ を $x$ 軸について対称移動させた点 $\rm R$ も有理点となる．これを $\mbox{R}=\mbox{P}+\mbox{Q}$ で表してある楕円曲線上の有理点に対して和という演算を定義する．特に $\rm P=Q$ のとき， $\rm P，Q$ を通る直線は楕円曲線の $\rm P$ における接線とし， $\mbox{R}=2\mbox{P}$ と表す．

Mordell の定理：ある楕円曲線上の全ての有理点は，有限個の有理点とそれらの和によって生成される．但し無限遠点も有理点の1つとする．

[解答]
以下， $x$ 座標と $y$ 座標がともに有理数であるような点を有理点と呼ぶことにする．

(1) $y^3=x^2+2$ に $x=\dfrac{y-c}{k}$ を代入して $x$ を消去すると，
$y^3-\dfrac{1}{k^2}y^2+\dfrac{2c}{k^2}y-\dfrac{c^2}{k^2}-2=0$
であり，この3解が $b，b，b'$ であるから解と係数の関係から
$2b+b'=\dfrac{1}{k^2}$ …①
となる．

(2) 同様に $b^2+2bb'=\dfrac{2c}{k^2}$ …②， $b^2b'=\dfrac{c^2}{k^2}+2$ …③ が成立するので
$2b+b'=\dfrac{b^2+2bb'}{2c}=\dfrac{b^2b’-2}{c^2}$ （ $=\dfrac{1}{k^2}$ ）
となり， $(2b+b')\cdot \dfrac{b^2b’-2}{c^2}=\left(\dfrac{b^2+2bb'}{2c}\right)^2$ から $4(2b+b')(b^2b’-2)=(b^2+2bb')^2$
が成立する．整理して $(4b^3-8)b'=b^4-16b$ から
$b'=\dfrac{b^4-16b}{4b^3-8}$
となる．

(3) $y^3=x^2+2$ のとき $3y^2dy=2xdx$ であるから，有理点 $(a，b)$ における接線の傾き $k=\dfrac{2a}{3b^2}$ は有理数である．よって有理点 $(a，b)$ における接線 $y=kx+c$ において $c=b-ka$ も有理数である．①より $b$ が有理数ならば $k$ が有理数により $b'$ は有理数となり，よって $a'=\dfrac{b'-c}{k}$ も有理数である．

つまり有理点 $(a，b)$ における接線と $C$ の交点は有理点となる．

(4) $b'=\dfrac{p^4 -pq^3\cdot 2^{3r+4}}{(p^3q 2^{r+2}-q^4\cdot 2^{3r+1})2^{r+2}}$ であり， $p^4 -pq^3\cdot 2^{3r+4}，p^3q 2^{r+2}-q^4\cdot 2^{3r+1}$ は奇数であるから $s=r+2$ となる．

(5) 点 $(5，3)$ から出発して接線と $C$ の交点，その交点における接線と $C$ の交点と次々に交点を求めたとき，(3)から次々と有理点が得られ，その $x$ 座標を既約分数で表現したときの分母の素因数 $2$ の個数は単調増加であるから，次々と得られる有理点は全て異なる．よってこの操作によって $C$ 上の有理点を無限に生成することができ，よって有理点は無数にある．