https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2025/Rikou

2025.02.17記

[4] 空間内に原点 $\rm O$ を中心とする半径 $r$ の球面 $S$ がある．さらに，半径が $1$ ， $2$ ， $3$ の球面 $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ があり，これら $4$ つの球面のうちどの2つの球面も互いに外接している． $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ の中心を順に $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ ， $\mbox{P}_3$ とし， $\mbox{O}$ ， $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ ， $\mbox{P}_3$ は同一平面上にないとする．さらに，球面 $S$ が球面 $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ と接する3つの点と，
$\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{\mbox{OP}_1}+\overrightarrow{\mbox{OP}_2}+\overrightarrow{\mbox{OP}_3}\right)$
により定まる点 $\rm Q$ は，同一平面上にあるとする．次の問いに答えよ．

(1) $r$ の値を求めよ．

(2) 四面体 $:\mbox{OP}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ の体積を求めよ．

本問のテーマ

四面体の体積を求めるオイラーの公式 (2025.03.28)
Cayley-Menger 行列の行列式(2025.03.28)

2025.02.17記

[解答]
(1) $S$ と $\mbox{S}_1$ ， $\mbox{S}_2$ ， $\mbox{S}_3$ の接点を $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ， $\mbox{A}_3$ とおくと
$\overrightarrow{\mbox{OP}_1}=\dfrac{1+r}{r}\overrightarrow{\mbox{OA}_1}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OP}_2}=\dfrac{2+r}{r}\overrightarrow{\mbox{OA}_2}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OP}_3}=\dfrac{3+r}{r}\overrightarrow{\mbox{OA}_3}$
であるから，
$\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\dfrac{1+r}{4r}\overrightarrow{\mbox{OA}_1}+\dfrac{2+r}{4r}\overrightarrow{\mbox{OA}_2}+\dfrac{3+r}{4r}\overrightarrow{\mbox{OA}_3}$
となる． $\mbox{Q}$ は平面 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3$ 上にあるので係数の和は1となる．よって $\dfrac{6+3r}{4r}=1$ となり， $r=6$ となる．

(2) $\mbox{P}_1\mbox{P}_2=3$ ， $\mbox{P}_2\mbox{P}_3=5$ ， $\mbox{P}_3\mbox{P}_1=4$ （ $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{P}_3$ は $\angle\mbox{P}_2\mbox{P}_1\mbox{P}_3$ が直角の直角三角形）である．

座標軸を新しく取り直し， $\mbox{O}(x，y，z)$ （ $z\gt 0$ ）， $\mbox{P}_1(0，0，0)$ ， $\mbox{P}_2(3，0，0)$ ， $\mbox{P}_3(0，4，0)$ となるようにする．このとき
$x^2+y^2+z^2=7^2$ ， $(x-3)^2+y^2+z^2=8^2$ ， $x^2+(y-4)^2+z^2=9^2$
であるから， $x=-1$ ， $y=-2$ ， $z=2\sqrt{11}$ が成立する．

よって求める体積は $\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 2\sqrt{11}=4\sqrt{11}$ となる．

2025.03.28記
何か，四面体の6辺の長さがわかっているのでオイラーの公式や Cayley-Menger 行列の行列式を利用して解く，というのを見た．このあたりについては
四面体の体積を求めるオイラーの公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
に書いたが，Cayley-Menger 行列の行列式の $\dfrac{1}{288}$ 倍の平方根が，四面体の体積を求めるオイラーの公式に一致する証明は書いてなかったな．Cayley-Menger 行列の行列式は
$\mbox{OA}=a，\mbox{BC}=x$ ， $\mbox{OB}=b，\mbox{CA}=y$ ， $\mbox{OC}=c，\mbox{AB}=z$
としたときに
$\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & z^2 & y^2 & a^2 & 1 \\ z^2 & 0 & x^2 & b^2 & 1 \\ y^2 & x^2 & 0 & c^2 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
となるので，まず行の基本変形
「1〜3行目から4行目を引く」，「1〜3行目から5行目のそれぞれ $a^2，b^2，c^2$ 倍を引く」
を行い，次に列の基本変形
「4列目，5列目から1〜3列目の4〜5行目の成分を0にする」
を行うことにより
$\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & z^2 & y^2 & a^2 & 1 \\ z^2 & 0 & x^2 & b^2 & 1 \\ y^2 & x^2 & 0 & c^2 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} -a^2 & z^2-b^2 & y^2-c^2 & a^2 & 0 \\ z^2-a^2 & -b^2 & x^2-c^2 & b^2 & 0 \\ y^2-a^2 & x^2-b^2 & -c^2 & c^2 & 0 \\ a^2 & b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} -2a^2 & z^2-b^2-a^2 & y^2-c^2-a^2 & 0 & 0 \\ z^2-a^2-b^2 & -2b^2 & x^2-c^2-b^2 & 0 & 0 \\ y^2-a^2-c^2 & x^2-b^2-c^2 & -2c^2 & 0 & 0 \\ a^2 & b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} -2a^2 & z^2-b^2-a^2 & y^2-c^2-a^2 & 0 & 0 \\ z^2-a^2-b^2 & -2b^2 & x^2-c^2-b^2 & 0 & 0 \\ y^2-a^2-c^2 & x^2-b^2-c^2 & -2c^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ $=(-1)^4\mbox{det}\begin{pmatrix} 2a^2 & b^2+a^2-z^2 & c^2+a^2-y^2 & 0 & 0 \\ a^2+b^2-z^2 & 2b^2 & c^2+b^2-x^2 & 0 & 0 \\ a^2+c^2-y^2 & b^2+c^2-x^2 & 2c^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $=\mbox{det}\begin{pmatrix} 2a^2 & b^2+a^2-z^2 & c^2+a^2-y^2 \\ a^2+b^2-z^2 & 2b^2 & c^2+b^2-x^2 \\ a^2+c^2-y^2 & b^2+c^2-x^2 & 2c^2 \end{pmatrix}$
が成立する．

この最後はオイラーの公式で考えるグラム行列の行列式の8倍に一致している（この結果を余弦定理で書き直すと内積を並べたグラム行列の2倍が得られ，行列式はグラム行列の $2^3=8$ 倍となる）ので，Cayley-Menger 行列の行列式の $\dfrac{1}{288}$ 倍の平方根が，四面体の体積を求めるオイラーの公式に一致することになる．

なお，これら公式はコンピュータに計算させるには向いているが手計算だと一般に大変である．但し，本問のように直角三角形が含まれる場合
（ $a=3，b=4，z=5$ とし，このとき $c=7，x=9，y=8$ となる），グラム行列の成分に0が登場するので少し計算が楽になる．実際，
$V^2=\dfrac{1}{288}\mbox{det}\begin{pmatrix} 2a^2 & b^2+a^2-z^2 & c^2+a^2-y^2 \\ a^2+b^2-z^2 & 2b^2 & c^2+b^2-x^2 \\ a^2+c^2-y^2 & b^2+c^2-x^2 & 2c^2 \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{288}\mbox{det}\begin{pmatrix} 2\cdot 9 & 0 & -6 \\ 0 & 2\cdot 16 & -16 \\ -6 & -16 & 2\cdot 49 \end{pmatrix}$ $=4\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & 49 \end{pmatrix}$ $=4(49-1-4)=4\cdot 44$
となり， $V=4\sqrt{11}$ である．

[大人の解答]
(2) $a=\mbox{P}_1\mbox{P}_2=3$ ， $b=\mbox{P}_1\mbox{P}_3=5$ ， $c=\mbox{P}_1\mbox{O}=7$ ， $x=\mbox{P}_3\mbox{O}=9$ ， $y=\mbox{P}_2\mbox{O}=8$ ， $z=\mbox{P}_2\mbox{P}_3=5$ とおくと，オイラーの公式により求める体積を $V$ とすると
$V^2=\dfrac{1}{288}\mbox{det}\begin{pmatrix} 2a^2 & a^2+b^2-z^2 & a^2+c^2-y^2 \\ a^2+b^2-z^2 & 2b^2 & b^2+c^2-x^2 \\ a^2+c^2-y^2 & b^2+c^2-x^2 & 2c^2 \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{288}\mbox{det}\begin{pmatrix} 2\cdot 9 & 0 & -6 \\ 0 & 2\cdot 16 & -16 \\ -6 & -16 & 2\cdot 49 \end{pmatrix}$ $=4\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & 49 \end{pmatrix}$ $=4(49-1-4)=4\cdot 44$
が成立する．よって $V=4\sqrt{11}$ である．

長さ $a$ の対辺の長さは $x$ ，長さ $b$ の対辺の長さは $y$ ，長さ $c$ の対辺の長さは $z$ となっていることに注意．