https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2025/Rikou

2025.02.17記

[2] $xy$ 平面上で，連立不等式
$0\lt x\leqq 1$ ， $0\leqq y\leqq \log\dfrac{1}{x}$
で定まる領域と $y$ 軸の $y\geqq 0$ の部分を合わせた図形を $D$ とする． $D$ に含まれる三角形の面積の最大値を求めよ．

2025.02.17記

[うまい解答]
$y=-\log x$ （ $x\leqq 1$ ）は下に凸であるから， $D$ に含まれる三角形を原点中心に拡大していくとやがて $D$ と共有点をもつ．

その共有点が三角形の両端を除く辺であろうと頂点であろうと共有点における接線よりも三角形は原点側にあるので，拡大された三角形は共有点における接線と両軸でできる三角形に含まれるので，その面積は，共有点における接線と両軸でできる三角形の面積以下となる．つまりもとの三角形の面積も共有点における接線と両軸でできる三角形の面積以下となるので， $D$ に含まれる任意の三角形を含む $y=-\log x$ の接線と両軸で作られる三角形が存在する．

よって三角形の面積の最大値が存在すれば，それは $y=-\log x$ （ $x\leqq 1$ ）の接線と両軸でできる三角形となる．

ここで $y=-\log x$ （ $x\leqq 1$ ）の接線と両軸の交点の中点が接点となるとき，はみだし削り論法から接点を変えたときに三角形の面積は減少するので， $y=-\log x$ （ $x\leqq 1$ ）の接線と両軸の交点の中点が接点となるときに三角形の面積が最大となる．

ここで $x=t$ における $y=-\log x$ の接線が $y=-\dfrac{1}{t}x-\log t +1$ より接線と両軸の交点の中点が接点となるのは $-\log t + 1 = -2\log t$ ，すなわち $t=\dfrac{1}{e}$ のときである．このときの三角形の面積は $2xy=2t\cdot (-\log t)=\dfrac{2}{e}$ である．

なお， $xy=k$ の場合，接線と両軸の交点の中点が必ず接点となることに着目すると， $y=-\log x$ と $xy=k$ が接する場合，すなわち $y=\log \dfrac{1}{x}$ と $y=\dfrac{k}{x}$ が接する場合に着目すれば良い．ここで $X=\dfrac{1}{x}$ とおくと $y=\log X$ と $y=kX$ が接することとなり，原点から $y=\log X$ に引いた接線が $y=\dfrac{1}{e}X$ （接点は $X=e$ ）となるという基本知識があれば $k=\dfrac{1}{e}$ （接点は $x=\dfrac{1}{e}$ ）であることがわかる．つまり $y=-\log x$ と $xy=\dfrac{1}{e}$ が $\left(\dfrac{1}{e}，1\right)$ で接することがわかり，求める面積は $2xy=\dfrac{2}{e}$ となることがわかる．

2025.02.18記
普通に解いておく．

[解答]
領域 $D$ に含まれる任意の三角形を $T$ とする．不等式 $\log\dfrac{1}{x}\leqq y$ の表す領域を $E$ とする． $T$ ， $E$ は共に凸であるから $T$ の周または内部の点 $\rm A$ と $E$ に含まれる点 $\rm B$ を最短距離を与えるように選ぶものとするとき， $y=-\log x$ の $\rm B$ における接線と両軸でできる三角形は必ず $T$ を含むので，三角形の面積の最大値が存在すれば，それは $y=-\log x$ （ $x\leqq 1$ ）の接線と両軸でできる三角形となる．

$\mbox{B}(t，-\log x)$ （ $t\leqq 1$ ）とすると， $\rm B$ における $y=-\log x$ の接線の方程式は
$y=-\dfrac{1}{t}x-\log t +1$
となるので，この接線は $(t-t\log t，0)$ ， $(0，1-\log t)$ を通るので $\rm B$ における接線と両軸でできる三角形の面積は
$\dfrac{1}{2}t(1-\log t)^2=\dfrac{1}{2}u^2e^{u+1}=:f(u)$ （ $u=\log t -1$ ， $u\leqq -1$ ）
となる．

$f'(u)=\dfrac{1}{2}(u^2+2u)e^{u+1}=\dfrac{1}{2}u(u+2)e^{u+1}$ により $u\leqq -1$ の範囲で $f'(u)=0$ となるのは $u=-2$ のときであり，この前後で $f'(u)$ は正から負に符号を変えるので， $f(u)$ は $u=-2$ で極大かつ最大となり，最大値は $2e^{-1}$ （ $t=e^{-1}$ ）となる．

2025.02.19記
[うまい解法]で述べた

の部分の証明は

マミコン(Mamikon)の定理 - 球面倶楽部零八式 mark II

を用いれば良い．接線の方向が $d\theta$ 動くと
三角形の面積の増加分は $\dfrac{1}{2} (接線の右側の長さ)^2 d\theta$ ，
三角形の面積の減少分は $\dfrac{1}{2} (接線の左側の長さ)^2 d\theta$ ，
となり
$(接線の右側の長さ)=(接線の左側の長さ)$
のときに面積は極値をとることがわかる．