https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2025/Rikou

2025.02.17記

[1] 複素数平面上で，複素数 $z$ が円 $|z|=1$ の上を動くとき，
$w=\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right)z+\left(\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\right)\dfrac{1}{z}$
を満たす点 $w$ の軌跡を $C$ とする．次の問いに答えよ．

(1) $C$ はどのような図形か，複素数平面上に図示せよ．

(2) $C$ と円 $\left| z-\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right|=\sqrt{2}$ の共有点を求めよ．

(3) $C$ で囲まれる領域と $\left| z-\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right|\leqq\sqrt{2}$ の表す領域の共通部分の面積を求めよ．

2025.02.17記
一瞬， $w=\left(\dfrac{1+\sqrt{2}i}{2}\right)z+\left(\dfrac{1-\sqrt{2}i}{2}\right)\dfrac{1}{z}$ と見間違えてしまったが，これだと図形 $C$ が線分になってしまい，(3) の「 $C$ で囲まれる領域」と合わなくなるので「おおっと」となってしまった．

[解答]
(1) $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおくと $\dfrac{1}{z}=\cos\theta-i\sin\theta$ であるから， $w=\cos\theta+\sqrt{2}i\sin\theta$ となるので， $w=x+yi$ は楕円 $x^2+\dfrac{y^2}{2}=1$ を描く（図示略）．

(2) $\left| \cos\theta+\sqrt{2} i\sin\theta-\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right|=\sqrt{2}$ から $\left(\cos\theta-\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^2+2\sin^2\theta=2$ ，つまり $\left(\cos\theta-\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^2-2\cos^2\theta=0$ となる．よって $(1\pm \sqrt{2})\cos\theta=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}$ となるが， $|\cos\theta|\leqq 1$ により $(1+\sqrt{2})\cos\theta=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}$ ，つまり $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ となる．このとき $\sqrt{2}i\sin\theta=\pm i$ となるので求める交点は $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\pm i$ となる．

(3) 円の側の弓形は半径 $\sqrt{2}$ ，中心角 $\dfrac{\pi}{2}$ だから $\dfrac{1}{2}\pi-1$ となる．楕円側の弓形を横方向に $\sqrt{2}$ 倍拡大すると先程計算した円の弓形と合同となるので，求める面積は $\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\dfrac{1}{2}\pi-1\right)$ $=\dfrac{(1+\sqrt{2})(\pi-2)}{2\sqrt{2}}$ となる．