https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2024/Rikou

2024.02.17記

[5] $xy$ 平面上において，以下の媒介変数表示をもつ曲線を $C$ とする．
$\left\{ \begin{array}{l}x=\sin t+\dfrac{1}{2}\sin 2t \\y=-\cos t-\dfrac{1}{2}\cos 2t-\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$
ただし， $0\leqq t\leqq \pi$ とする．

(1) $y$ の最大値，最小値を求めよ．

(2) $\dfrac{dy}{dt}\lt 0$ となる $t$ の範囲を求め， $C$ の概形を $xy$ 平面上に描け．

(3) $C$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ．
注) 「 $C$ と $y$ 軸で囲まれる部分を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ．」
の方が良い．

本問のテーマ

曲線の追跡
第一種オイラー積分
ベータ関数

2024.02.17記
(2) の $\dfrac{dy}{dt}\lt 0$ となる $t$ の範囲を求め，というのは(1)で $\dfrac{dy}{dt}\lt 0$ を既に計算して符号により増減を確かめていることから，これは
「 $\dfrac{dx}{dt}\lt 0$ となる $t$ の範囲を求め」，
「 $\dfrac{dy}{dx}\lt 0$ となる $x$ の範囲を求め」
のいずれかの誤植と思われるが，問題として成立しているのでそのまま解いておく
（曲線を描く上で両方とも計算しているが…）．

[解答]
(1) $\dfrac{dy}{dt}=\sin t +\sin 2t=(1+2\cos t)\sin t$ より増減表は次表

$t$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\cdots$	$\pi$
$\dfrac{dy}{dt}$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
$y$	$-2$	$\nearrow$	$\dfrac{1}{4}$	$\searrow$	$0$

よって $y$ の最大値は $\dfrac{1}{4}$ （ $t=\dfrac{2\pi}{3}$ ）， $y$ の最小値は $-2$ （ $t=0$ ）となる．

(2) (1) の増減表から $\dfrac{dy}{dt}\lt 0$ となるのは $\dfrac{2\pi}{3}\lt t\lt \pi$ である．

さて， $\dfrac{dx}{dt}=\cos t +\cos 2t=2(\cos t+1)\left(\cos t-\dfrac{1}{2}\right)$ 　であるから

$t$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\cdots$	$\pi$
$\dfrac{dx}{dt}$	$2$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$
$\dfrac{dy}{dt}$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$
$(x,y)$	$(0,-2)$	$\nearrow$	$(\dfrac{3^{3/2}}{4},-\dfrac{3}{4})$	$\nwarrow$	$(\dfrac{3^{1/2}}{4},\dfrac{1}{4})$	$\swarrow$	$0$

ここで
$\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\sin t-2\sin 2t$ ， $\dfrac{d^2y}{dt^2}=\cos t+2\cos 2t$
だから
$\dfrac{dx}{dt}\cdot\dfrac{dy^2}{dt^2}\cdot-\dfrac{d^2x}{dt^2}\cdot\dfrac{dy}{dt}$ $=(\cos t +\cos 2t)(\cos t+2\cos 2t)$ $-(-\sin t-2\sin 2t)(\sin t +\sin 2t)$ $=3(1+\cos t)$ $\gt 0$
（ $0\lt t\lt \pi$ ）だから曲線は常に左にカーブしている．

よって $C$ の概形は次のようになる．

(3) $V=\displaystyle\int_{y=-2}^{y=\frac{1}{4}} \pi x^2 dy$ $-\displaystyle\int_{y=0}^{y=\frac{1}{4}} \pi x^2 dy$
$=\displaystyle\int_{t=0}^{t=\frac{2\pi}{3}} \pi x(t)^2 y'(t)dt$ $-\displaystyle\int_{t=\pi}^{t=\frac{2\pi}{3}} \pi x(t)^2 y'(t)dt$
$=\pi \displaystyle\int_{t=0}^{t=\pi} (\sin t+\sin t \cos t)^2(\sin t+2 \sin t \cos t) dt$
$=\pi \displaystyle\int_{t=0}^{t=\pi} (1+\cos t)^2(1+2 \cos t)(1-\cos^2 t) \sin t dt$
となる． $-\cos t=u$ と置換すると
$V=\pi \displaystyle\int_{-1}^{1} (1-u)^3(1-2u)(1+u) du$
$=\pi \displaystyle\int_{-1}^{1} (1-u)^3\{2(1-u)-1\}(1+u) du$
$=2\pi \displaystyle\int_{-1}^{1} (u+1)(1-u)^4 dt$ $-\pi \displaystyle\int_{-1}^{1} (1+u)(1-u)^3 du$
$=2\pi\cdot\dfrac{1!4!}{6!}\cdot 2^6-\pi\cdot\dfrac{1!3!}{5!}\cdot 2^5$ $=\dfrac{8\pi}{3}$

積分区間が $-1$ から $1$ までなので奇関数の積分が消えることに着目して
$V=\pi \displaystyle\int_{-1}^{1} (1-u)^3(1-2u)(1+u) du$
$=\pi \displaystyle\int_{-1}^{1} (2u^5-5u^4+2u^3+4u^2-4u+1) du$
$=2\pi \displaystyle\int_{0}^{1} (-5u^4+4u^2+1) du$
$=2\pi\left(-1+\dfrac{4}{3}+1\right)=\dfrac{8\pi}{3}$
と計算しても良い．

なお，計算練習としてベータ関数を利用した計算も見ておこう．
$\dfrac{V}{\pi}=\displaystyle\int_{t=0}^{t=\pi} (\sin t+\sin t \cos t)^2(\sin t+2 \sin t \cos t) dt$
$=\displaystyle\int_{t=0}^{t=\pi} (1+\cos t)^2(1+2 \cos t)\sin^3 t dt$
で $t=2\varphi$ とおくと
$\dfrac{V}{\pi}=2\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} 4\cos^4 \varphi(4\cos^2\varphi -1)8\sin^3\varphi\cos^3\varphi d\varphi$
$=64\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^4 \varphi(3\cos^2\varphi -\sin^2\varphi)\sin^3\varphi\cos^3\varphi d\varphi$
$=64\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} (3\sin^3\varphi\cos^9\varphi-\sin^5\varphi\cos^7\varphi)d\varphi$
$=32\left\{ 3B(2,5)-B(3,4)\right\}$ $=32\cdot\dfrac{3\cdot 24-2\cdot 6}{6!}$ $=\dfrac{8}{3}$
となる．