https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2024/Rikou

2024.02.17記

[3] 点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を頂点とする四面体 $\mbox{OABC}$ を考える．辺 $\mbox{OA}$ ， $\mbox{OB}$ ， $\mbox{OC}$ の中点をそれぞれ $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ とし，辺 $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ ， $\mbox{AB}$ の中点をそれぞれ $\mbox{S}$ ， $\mbox{T}$ ， $\mbox{U}$ とする．

(1) 辺 $\mbox{PS}$ ， $\mbox{QT}$ ， $\mbox{RU}$ が1点で交わることを示せ．

(2) $\mbox{OA}^2+\mbox{BC}^2$ $=\mbox{OB}^2+\mbox{CA}^2$ $=\mbox{OC}^2+\mbox{AB}^2$ のとき，点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ ， $\mbox{T}$ ， $\mbox{U}$ が同一球面上にあることを示せ．

(3) (2)において，辺 $\mbox{PS}$ が辺 $\mbox{OA}$ ， $\mbox{BC}$ と直交するとし，辺 $\mbox{OA}$ ， $\mbox{BC}$ の長さをそれぞれ $a$ ， $k$ とする．点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ ， $\mbox{T}$ ， $\mbox{U}$ を頂点とする八面体の体積 $V$ を $a$ と $k$ を用いて表せ．

(4) [不備] (3) において， $k=1$ のとき八面体の体積 $V$ の最大値を求めよ．

2024.02.17記
設問(3)の「それぞれ」は「ぞれぞれ」と誤植していたそうです。

設問(4)に不備があります．
https://www.waseda.jp/fsci/assets/uploads/2024/02/20240217_ms1.pdf

[解答]
(1) $\overrightarrow{\mbox{OP}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{OA}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OR}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OS}}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}})$ ， $\overrightarrow{\mbox{OT}}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mbox{OC}}+\overrightarrow{\mbox{OA}})$ ， $\overrightarrow{\mbox{OU}}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})$
であるから，辺 $\mbox{PS}$ ， $\mbox{QT}$ ， $\mbox{RU}$ の中点の位置ベクトルはいずれも
$\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}})$
となるので，辺 $\mbox{PS}$ ， $\mbox{QT}$ ， $\mbox{RU}$ はそれらの中点で交わる．

(2) $\mbox{OA}^2+\mbox{BC}^2$ $=\mbox{OB}^2+\mbox{CA}^2$ $=\mbox{OC}^2+\mbox{AB}^2$ により
$\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OB}}$ $=\overrightarrow{\mbox{OB}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OC}}$ $=\overrightarrow{\mbox{OC}}\bullet\overrightarrow{\mbox{OA}}$
が成立する．よって
$\mbox{PS}^2-\mbox{QT}^2$ $=(\overrightarrow{\mbox{PS}}+\overrightarrow{\mbox{QT}})\bullet (\overrightarrow{\mbox{PS}}-\overrightarrow{\mbox{QT}})$ $=\overrightarrow{\mbox{OC}}\bullet (\overrightarrow{\mbox{OB}}-\overrightarrow{\mbox{OA}})$ $=0$
から $\mbox{PS}=\mbox{QT}$ となり，同様に
$\mbox{QT}^2-\mbox{RU}^2$ $=\overrightarrow{\mbox{OA}}\bullet (\overrightarrow{\mbox{OC}}-\overrightarrow{\mbox{OB}})$ $=0$
から $\mbox{QT}=\mbox{RU}$ となる．

よって $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ ， $\mbox{S}$ ， $\mbox{T}$ ， $\mbox{U}$ は(1)の交点を中心とし，半径 $\dfrac{1}{2}\mbox{PS}=\dfrac{1}{2}\mbox{QT}=\dfrac{1}{2}\mbox{RU}$ の球面上にある．

(3) $\mbox{QU}\parallel\mbox{RT}\parallel\mbox{OA}$ ， $\mbox{QR}\parallel\mbox{UT}\parallel\mbox{AB}$ であり，(2) より
$\mbox{OA}\perp\mbox{BC}$ であるから，四角形 $\mbox{QRTU}$ は長方形であり，その面積は $\dfrac{ak}{4}$ となる．

辺 $\mbox{PS}$ が辺 $\mbox{OA}$ ， $\mbox{BC}$ と直交するので
$V=\dfrac{1}{3}\cdot (長方形\mbox{QRTU})\cdot(\mbox{PS})$
が成立するが，(2) より $\mbox{PS}=\mbox{QT}$ は長方形 $\mbox{QRTU}$ の対角線の長さに等しいので
$\mbox{PS}=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+k^2}$
となる．よって
$V=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{ak}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+k^2}$ $=\dfrac{ak\sqrt{a^2+k^2}}{24}$
となる．

(4) $k=1$ のとき， $V=\dfrac{a\sqrt{a^2+1}}{24}$ は $a\to\infty$ で $+\infty$ に発散するので最大値は存在しない．

むしろ $\mbox{PS}=1$ のとき（つまり八面体が単位球面に内接するとき）の $V$ の最大値を求めよ，というのであれば問題として良くある感じとなる．この場合， $a^2+k^2=4$ だから $a=2\cos\theta$ ， $k=2\sin\theta$ とおくと
$V=\dfrac{\sin2\theta}{12}$ となり， $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ （ $\mbox{QRTU}$ が正方形のとき）に最大となる．

出題者は(2)で求めた球面が一定の大きさと錯覚したのではないかと思われるが，通常，検討会で複数の人が解くことになるはずなので、何故擦り抜けたのか謎である．考えたくないが，検討会のメンバーが自分で解かずに間違った模範解答をスルーしてしまったのかも知れない(きっと他に原因があるはず)．

2024.02.18記
結局， $\mbox{OB}=\mbox{OC}=\mbox{AB}=\mbox{CA}$ が成立します．