2024年(令和6年)早稲田大学理工学部-数学

[1] 円 に接する直線で， 切片， 切片がともに正であるものを とする． と と 軸により囲まれた部分の面積を ， と と 軸により囲まれた部分の面積を とする． が最小となるとき， の値を求めよ．

[2] を自然数とし，数1，2，4を重複を許して 個並べてできる 桁の自然数全体を考える．そのうちで3の倍数となるものの個数を ，3で割ると1余るものの個数を ，3で割ると2余るものの個数を とする．

(1) を を用いて表せ．同様に， を を用いて， を を用いて表せ．

(2) を と を用いて表せ．

(3) を と を用いて表せ．

(4) （）を を用いて表せ．

[3] 点 ，，， を頂点とする四面体 を考える．辺，， の中点をそれぞれ ，， とし，辺 ，， の中点をそれぞれ ，， とする．

(1) 辺 ，， が1点で交わることを示せ．

(2) のとき，点 ，，，，， が同一球面上にあることを示せ．

(3) (2)において，辺 が辺 ， と直交するとし，辺 ， の長さをそれぞれ ， とする．点 ，，，，， を頂点とする八面体の体積 を と を用いて表せ．

(4) [不備] (3) において， のとき八面体の体積 の最大値を求めよ．

[4] 2つのチーム ， が 回試合を行う．ただし， とする．各試合での ， それぞれの勝つ確率は とし，引き分けはないものとする． が連敗しない確率を とする．ただし，連敗とは2回以上続けて負けることを言う．

(1) を求めよ．

(2) を と を用いて表せ．

(3) 以下の2式を満たす ， を求めよ．ただし， とする．

(4) を求めよ．

[5] 平面上において，以下の媒介変数表示をもつ曲線を とする．

ただし， とする．

(1) の最大値，最小値を求めよ．

(2) となる の範囲を求め， の概形を 平面上に描け．

(3) を 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 を求めよ．
注) 「 と 軸で囲まれる部分を 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 を求めよ．」
の方が良い．