2023年(令和5年)早稲田大学理工学部-数学

[1] を自然数として，整式 を で割った余りを とおく．以下の問に答えよ．

(1) と を，それぞれ と を用いて表せ．

(2) 全ての に対して， と は で割り切れないことを示せ．

(3) と を と で表し，全ての に対して， つの整数 と は互いに素であることを示せ．

[2] 赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し，取り出した玉を袋に戻した上で，取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す．以下の問に答えよ．

(1) 初めに袋の中に赤玉が1個，黒玉が1個入っているとする． 回の操作を行ったとき，赤玉をちょうど 回取り出す確率を
（）とする． と を求め，さらに を求めよ．

(2) 初めに袋の中に赤玉が 個，黒玉が 個（）入っているとする． 回の操作を行ったとき， 回目に赤玉が，それ以外ではすべて黒玉が取り出される確率を （）とする． は によらないことを示せ．

[3] 実数 に対して関数 を で定め，正の実数 に対して関数 を で定める．また， のグラフをそれぞれ， とする．以下の問に答えよ．

(1) と がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ．

(2) 直線 と が 点で交わることを示せ．ただし，必要なら を証明しないで用いてよい．

(3) 直線 と との つの交点の 座標を， とする．ただし とする．直線 と， をすべて同じ 平面上に図示せよ．

(4) と で囲まれる図形の面積を(3)の と の多項式で表せ．

[4] 複素数平面上に 点， がある．ただし， は虚数単位である．複素数 に対し で表される点 を考える．以下の問に答えよ．

(1) ，， のときの をそれぞれ計算せよ．

(2) 実数 に対し とする． について， の実部を求め，さらに を求めよ．

(3) と原点を結んでできる線分 を考える． が線分 上を動くとき，線分 が通過する範囲を図示し，その面積を求めよ．

[5] 空間において， 点 ，， を頂点とする三角形 を考える．以下の問に答えよ．

(1) を求めよ．

(2) に対し，線分 ， と平面 との交点をそれぞれ ， とする．点 ， の座標を求めよ．

(3) に対し，点 と線分 の距離を で表せ．ただし，点と線分の距離とは，点と線分上の点の距離の最小値である．

(4) 三角形 を 軸のまわりに 回転させ，そのときに三角形が通過する点全体からなる立体の体積を求めよ．