https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2022/Rikou

2025.04.10記

[5] $a\gt 0$ を定数とし， $f(x)=x^a\log x$ とする．以下の問に答えよ．

(1) $\displaystyle\lim_{x\to +0}f(x)$ を求めよ．必要ならば $\displaystyle\lim_{s\to\infty}se^{-s}=0$ が成り立つことは証明なしに用いてよい．

(2) 曲線 $y=f(x)$ の変曲点が $x$ 軸上に存在するときの $a$ の値を求めよ．さらにそのときのグラフの概形を描け．

(3) $t\gt 0$ に対して，曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t，f(t))$ における接線を $\ell$ とする． $\ell$ が $y$ 軸の負の部分と交わるための $(a，t)$ の条件を求め，その条件の表す領域を $at$ 平面上に図示せよ．

2025.04.12記

[解答]
$f(x)$ の定義域は $x\gt 0$ である．

(1) $s=-a\log x$ ，つまり $x^a=e^{-s}$ とおくと $f(x)=-\dfrac{se^{-s}}{a}$ であるから，
$\displaystyle\lim_{x\to +0}f(x)$ $=\displaystyle\lim_{s\to\infty}\dfrac{se^{-s}}{-a}=0$
となる．

(2) $f'(x)=ax^{a-1}\log x+x^{a-1}$ ， $f''(x)=a(a-1)x^{a-2}\log x+(2a-1)x^{a-2}$ が成立する．

(i) $a=1$ のとき： $f''(x)=x^{-1}$ には変曲点は存在しない．

(ii) $a\neq 1$ のとき： $f''(x)=a(a-1)x^{a-2}\left\{\log x+\dfrac{2a-1}{a(a-1)}\right\}$ は $\log x=\dfrac{2a-1}{a(a-1)}$ を満たす $x$ の前後で符号を変化させるので変曲点となり，この $x$ について $f(x)=0$ となるので $\log x=\dfrac{2a-1}{a(a-1)}=0$ が成立するので $a=\dfrac{1}{2}$ である．

このとき $f(x)$ は $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}(\log x+2)$ となることから増減表は

$x$	$(0)$	$\cdots$	$e^{-2}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$+\infty$
$f'$		$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f''$		$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f$	$(0)$	$↳$	$e^{-2}$	$⤴$	$0$	$↱$	$+\infty$

のようになる．

(3) $y=f(x)$ の $x=t$ における接線の $y$ 切片は $f(t)-tf'(t)$ であるから，
$t^a \log t -t(at^{a-1}\log x+t^{a-1})\lt 0$
を満たす $(t，a)$ を図示すれば良い．ここで $t^{a}\gt 0$ であるから $\log t -a\log t-1\lt 0$ を満たす．

(i) $0\lt a\lt 1$ のとき $t\lt e^{\frac{1}{1-a}}$ である．

(ii) $a=1$ のとき $-1\lt 0$ は任意の $t$ （定義域は $t\gt 0$ ）で成立する．

(iii) $1\lt a$ のとき $t\gt e^{\frac{1}{1-a}}$ である．

これらを図示するために $t=e^{\frac{1}{1-a}}=g(a)$ （ $a\gt 0$ ）のグラフの概形を求める．
$g'(a)=\dfrac{1}{(1-a)^2}e^{\frac{1}{1-a}}$ ，
$g’'(a)=\dfrac{2}{(1-a)^3}e^{\frac{1}{1-a}}+\dfrac{1}{(1-a)^4}e^{\frac{1}{1-a}}$ $=\dfrac{3-2a}{(1-a)^4}e^{\frac{1}{1-a}}$
により $t=g(a)$ の増減表は次のようになる：

$a$	$(0)$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$\dfrac{3}{2}$	$\cdots$	$+\infty$
$g'$		$+$	／	$+$	$+$	$+$	$0$
$g''$		$+$	／	$\cdots$	$0$	$-$	$0$
$g$	$(e)$	⤴	$1$	⤴	$e^{-2}$	↱	$1$

よって求める領域は次図（ $a=1$ の細い線は気にしない）