https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2022/Rikou

2025.04.10記

[4] 一辺の長さが $\sqrt{3}+1$ である正八面体の頂点を右図のように $P_1$ ， $P_2$ ， $P_3$ ， $P_4$ ， $P_5$ ， $P_6$ とする．各 $i=1，2，…，6$ に対して， $P_i$ 以外の $5$ 点を頂点とする四角錐(すい)のすべての面に内接する球(内部を含む)を $B_i$ とする． $B_1$ の体積を $X$ とし， $B_1$ と $B_2$ の共通部分の体積を $Y$ とし， $B_1$ ， $B_2$ ， $B_3$ の共通部分の体積を $Z$ とする．さらに， $B_1$ ， $B_2$ ，…， $B_n$ を合わせて得られる立体の体積を $V_n$ （ $n=2，3，…，n$ ）とする．以下の問に答えよ．ただし，(1)は答のみを解答用紙の該当欄に書け．

(1) $V_n=aX+bY+cZ$ となる整数 $a$ ， $b$ ， $c$ を $n=2，3，6$ の場合について求めよ．

(2) $X$ の値を求めよ．

(3) $V_2$ の値を求めよ．

本問のテーマ

グラフ理論
包除原理
球欠（球帽）の体積

球台と球欠（球帽）の体積 - 球面倶楽部零八式 mark II
球台と球欠（球帽）の体積（その2） - 球面倶楽部零八式 mark II

2025.04.12記
正八面体は素直に座標に乗る．本問の頂点の与え方はサイコロをイメージすれば良い．

[解答]
(1) $B_i$ と $B_{7-i}$ は外接するのでこの2つの共通部分の体積は $0$ となるので添字の和が7となるペアが含まれれば共通部分の体積は $0$ となる．

ここで $P_iP_j$ が正八面体の辺であることと向かい合う頂点のペア（添字の和が $7$ ）でないことは同値であること， $\triangle P_iP_jP_k$ が正八面体の面であることとどの2頂点も向かい合う頂点のペア（添字の和が $7$ ）でないことは同値であることから

・ $B_i$ と $B_j$ の共通部分の体積は $P_iP_j$ が正八面体の辺であれば $Y$ ，でなければ $0$ である．

・ $B_i$ と $B_j$ と $B_k$ の共通部分の体積は $\triangle P_iP_jP_k$ が正八面体の面であれば $Z$ ，でなければ $0$ である．

ことが言え，また4つ以上の球の共通部分の体積は添字の和が $7$ となるペアが必ず存在することから $0$ であることが言える．

これらのことと包除原理とから
$V_2=2X-Y$ （グラフは1辺だから，辺は $1$ ，面は $0$ ），
$V_3=3X-3Y+Z$ （グラフは正三角形だから，辺は $3$ ，面は $1$ ），
$V_6=6X-12Y+8Z$ （グラフは正八面体だから，辺は $12$ ，面は $8$ ）
となる．

注）ちなみに $V_1=X$ （グラフは1点だから，辺は $0$ ，面は $0$ ），
$V_4=4X-5Y+2Z$ （グラフは2つの正三角形の1辺を共有させたものだから，辺は $5$ ，面は $2$ ），
$V_5=5X-8Y+4Z$ （グラフは四角錐の側面の4つの正三角形を合わせた部分だから，辺は $8$ ，面は $4$ ）
である．

(2) $P_1(0，0，-k)$ ， $P_2(-k，0，0)$ ， $P_3(0，-k，0)$ ， $P_4(0，k，0)$ ， $P_5(k，0，0)$ ， $P_6(0，0，k)$ （ $k\gt 0$ ）を6頂点とする正八面体の一辺の長さは $\sqrt{2}k=\sqrt{3}+1$ を満たす．

$B_1$ の方程式を $x^2+y^2+(z-r)^2\leqq r^2$ （ $r\gt 0$ ）とおくと， $B_1$ を内接する四角錐をなす平面のうちの2枚が $z=0$ ， $x+y+z=k$ であることに注意すると $r=\dfrac{k-r}{\sqrt{3}}$ から $r=\dfrac{k}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ となり， $X=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\pi$ となる，

$B_1$ と $B_2$ の共通部分の体積は $x^2+y^2+(z-r)^2\leqq r^2$ と $(x-r)^2+y^2+z^2\leqq r^2$ の共通部分で，2球の中心間距離が $\sqrt{2}r$ であることから，共通部分を合同な2つの球欠の体積の和で表すことにより
$Y=2\cdot\dfrac{\pi\left(r-\dfrac{\sqrt{2}r}{2}\right)}{6}\left\{3\left(\dfrac{r}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(r-\dfrac{\sqrt{2}r}{2}\right)^2\right\}$ $=\dfrac{\pi(2-\sqrt{2})}{12}\left\{3+(\sqrt{2}-1)^2\right\}r^3$ $=\dfrac{4\sqrt{2}-5}{12}\pi$
となるので， $V_2=2X-Y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\pi -\dfrac{4\sqrt{2}-5}{12}\pi$ $=\dfrac{4\sqrt{2}+5}{12}\pi$ となる．