https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2022/Rikou

2025.04.10記

[1] $f(x)=3e^x-6$ ， $g(x)=e^{2x}-4e^{x}$ とおく． $xy$ 平面上の曲線 $y=f(x)$ を $C$ ，曲線 $y=g(x)$ を $D$ とする．以下の問に答えよ．

(1) $C$ と $D$ の概形を一つの $xy$ 平面上に描け．

(2) $C$ と $D$ によって囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．

(3) $C$ と $D$ によって囲まれた部分を， $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ．

2025.04.12記
似た積分を複数回行うときは，積分結果を「公式化」しておくと良い．

[解答]
(1) $f'(x)=3e^x\gt 0$ より $f(x)$ は単調増加で $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-6$ ， $\displaystyle\lim_{x\to ＋\infty}f(x)=+\infty$ である．

$g'(x)=2e^x(e^{x}-2)$ より増減表は次表：

$x$	$-\infty$	$\cdots$	$\log 2$	$\cdots$	$+\infty$
$f'$		$-$	$0$	$+$
$f$	$0$	$\cdots$	$-8$	$\cdots$	$+\infty$

$f(x)=g(x)$ より $e^{2x}-7e^x+6=(e^x-1)(e^x-6)=0$ だから交点の座標は $(0，-3)$ ， $(\log 6，12)$ となる．

よって $C，D$ の概形は次図．

(2) $S=\displaystyle\int_0^{\log 6} (-e^{2x}+7e^x-6)\,dx$ $=-\dfrac{36-1}{2}+7(6-1)-6\log 6$ $=\dfrac{35}{2}-6\log 6$ である．

(3) $y=f(x)$ と $y=-g(x)$ の交点の座標は $e^{2x}-e^x-6=(e^x-3)(e^x+2)=0$ から $x=\log 3$ となるので，次図網掛け部分を， $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めれば良い．

$\dfrac{V}{\pi}=\displaystyle\int_{\log 1}^{\log 3} \{g(x)\}^2\,dx$ $+\displaystyle\int_{\log 3}^{\log 6} \{f(x)\}^2\,dx$ $-\displaystyle\int_{\log 1}^{\log 2} \{f(x)\}^2\,dx$ $-\displaystyle\int_{\log 4}^{\log 6} \{g(x)\}^2\,dx$
$=\displaystyle\int_{\log 1}^{\log 3} \{g(x)\}^2\,dx$ $+\displaystyle\int_{\log 6}^{\log 4} \{g(x)\}^2\,dx$ $+\displaystyle\int_{\log 3}^{\log 6} \{f(x)\}^2\,dx$ $+\displaystyle\int_{\log 2}^{\log 1} \{f(x)\}^2\,dx$
であり，
$\displaystyle\int_{\log a}^{\log b} \{f(x)\}^2\,dx$ $=9\displaystyle\int_{\log a}^{\log b} (e^{2x}-4e^x+4)\,dx$ $=9\left(\dfrac{b^2-a^2}{2}-4(b-a)+4(\log b-\log a)\right)$ ，
$\displaystyle\int_{\log a}^{\log b} \{g(x)\}^2\,dx$ $=\displaystyle\int_{\log a}^{\log b} (e^{4x}-8e^{3x}+16e^{2x})\,dx$ $=\dfrac{b^4-a^4}{4}-\dfrac{8(b^3-a^3)}{3}+8(b^2-a^2)$
であるから，
$\dfrac{V}{\pi}=\left(\dfrac{3^4-1^4+4^4-6^4}{4}-\dfrac{8(3^3-1^3+4^3-6^3)}{3}+8(3^2-1^2+4^2-6^2)\right)$
$+9\left(\dfrac{6^2-3^2+1^2-2^2}{2}-4(6-3+1-2)+4(\log 6-\log 3+\log 1-\log 2)\right)$
が成立する．

$3^4-1^4+4^4-6^4$ $=(4^2-1)(4^2+1)-3^4(1-2^4)$ $=15\cdot 17-81\cdot 15$ $=- 15\cdot 64$ ，
$3^3-1^3+4^3-6^3$ $=(4-1)(4^2+4+1)-3^3(2^3-1)$ $=3\cdot 21-27\cdot 7$ $=-18\cdot 7$ ，
$3^2-1^2+4^2-6^2$ $=(4-1)(4+1)-3^2(2^2-1)$ $=15-27=-12$ ，
$6^2-3^2+1^2-2^2$ $=3^2(2^2-1)-3$ $=27-3=24$ ，
$6-3+1-2$ $=2$ ，
$\log 6-\log 3+\log 1-\log 2$ $=\log\dfrac{6\cdot 1}{3\cdot 2}=\log 1=0$
を用いて

整理すると，
$\dfrac{V}{\pi}=\left(-\dfrac{15\cdot 64}{4}+\dfrac{8\cdot 18\cdot 7}{3}-8\cdot 12\right)$ $+9\cdot(12-4\cdot 2+4\cdot 0)$
$=(-240+8\cdot 42-8\cdot 12)+9\cdot 4$ $=0+36=36$
となり， $V=36\pi$ となる．

$f(x)=a(x)+b(x)$ のように和で書け， $f，a，b$ の原始関数が $F，A，B$ のとき， $\displaystyle\int_p^q f(x)\, dx=F(q)-F(p)$ だから $F(p)$ ， $F(q)$ を別々に計算して差を求めるよりも
$A(q)-A(p)$ ， $B(q)-B(p)$ を計算して和を考える方が楽なことが多い．

例えば $\displaystyle\int_p^q (ax^3+bx^2+cx+d)\, dx$ $=\dfrac{a}{4}(q^4-p^4)+\dfrac{b}{3}(q^3-p^3)+\dfrac{c}{2}(q^2-p^2)+d(q-p)$ とすると $q^4-p^4=(q-p)(q+p)(q^2+p^2)$ のような計算を行うことができ，約分し易くなるため計算ミスを防ぎ易くなることを本問の計算では用いた．

それにしてもこんな面倒な計算の後に非常に綺麗な答が出ると逆に不安になるし，どうやって調整したのか気になるところ．