https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/2022/Rikou

2025.04.10記

[1] $f(x)=3e^x-6$ ， $g(x)=e^{2x}-4e^{x}$ とおく． $xy$ 平面上の曲線 $y=f(x)$ を $C$ ，曲線 $y=g(x)$ を $D$ とする．以下の問に答えよ．

(1) $C$ と $D$ の概形を一つの $xy$ 平面上に描け．

(2) $C$ と $D$ によって囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．

(3) $C$ と $D$ によって囲まれた部分を， $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ．

[2] $p，q$ を相異なる素数とする．次の $3$ 条件をみたす $x$ の $2$ 次式を考える．

・係数はすべて整数で $x^2$ の係数は $1$ である．

・ $f(1)=pq$ である．

・方程式 $f(x)=0$ は整数解をもつ．

以下の問に答えよ．

(1) $f(x)$ をすべて求めよ．

(2) (1)で求めたものを $f_1(x)$ ， $f_2(x)$ ，…， $f_m(x)$ とする． $2m$ 次方程式 $f_1(x)\times f_2(x)\times\cdots\times f_m(x)=0$ の相異なる解の総和は $p$ ， $q$ によらないことを示せ．

[3] $r$ を実数とする．次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ ， $\{b_n\}$ ， $\{c_n\}$ を考える

$a_1=r$ ， $a_{n+1}=\dfrac{[a_n]}{4}+\dfrac{a_n}{4}+\dfrac{5}{6}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）

$b_1=r$ ， $b_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{7}{12}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）

$c_1=r$ ， $c_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{5}{6}$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）

ただし， $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n$ と $\displaystyle\lim_{n\to\infty} c_n$ を求めよ．

(2) $b_n\leqq a_n\leqq c_n$ （ $n=1，2，3，\cdots$ ）を示せ．

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めよ．

[4] 一辺の長さが $\sqrt{3}+1$ である正八面体の頂点を右図のように $P_1$ ， $P_2$ ， $P_3$ ， $P_4$ ， $P_5$ ， $P_6$ とする．各 $i=1，2，…，6$ に対して， $P_i$ 以外の $5$ 点を頂点とする四角錐(すい)のすべての面に内接する球(内部を含む)を $B_i$ とする． $B_1$ の体積を $X$ とし， $B_1$ と $B_2$ の共通部分の体積を $Y$ とし， $B_1$ ， $B_2$ ， $B_3$ の共通部分の体積を $Z$ とする．さらに， $B_1$ ， $B_2$ ，…， $B_n$ を合わせて得られる立体の体積を $V_n$ （ $n=2，3，…，n$ ）とする．以下の問に答えよ．ただし，(1)は答のみを解答用紙の該当欄に書け．