https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/1982/Kyoiku

2025.04.10記

$x$ についての3次式 $f(x)$ が次の等式をみたす．
$f(1)=\dfrac{1}{2}$ ， $f(2)=\dfrac{1}{3}$ ， $f(3)=\dfrac{1}{4}$ ， $f(4)=\dfrac{1}{5}$
このとき $f(0)$ の値を求めよ．

本問のテーマ

因数を無理矢理作る

2025.04.06記
$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ （ $x=1，2，3，4$ ）であるから，多項式の問題とするために $(x+1)f(x)-1=0$ （ $x=1，2，3，4$ ）と変形する．

[解答]
$g(x)=(x+1)f(x)-1$ とおくと， $g(x)$ は4次式であり $x=1，2，3，4$ で $g(x)=0$ をみたすので $g(x)=A(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ と書ける． $g(-1)=-1$ により $A=-\dfrac{1}{120}$ であるから $g(0)=24A=-\dfrac{1}{5}=f(0)-1$ となり， $f(0)=\dfrac{4}{5}$ となる．