https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Waseda/1979/Rikou

2020.08.24記

原点を $\rm O$ とし，平面上の2点 $\rm A(0,1)$ ， $\rm B(0,2)$ をとる． $\rm OB$ を直径とし点 $(1,1)$ を通る半円を $\Gamma$ とする．長さ $\pi$ の糸が一端を $\rm O$ に固定して， $\Gamma$ に巻きつけてある．この糸の他端 $\rm P$ を引き，それが $x$ 軸に到達するまで，ゆるむことなくほどいてゆく．糸と半円との接点を $\rm Q$ とし $\angle\rm BAQ$ の大きさを $t$ とする（図を見よ）．

(i) ベクトル $\vec{\rm OP}$ を $t$ を用いて表せ．
(ii) $\rm P$ がえがく曲線と， $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

本問のテーマ

円の伸開線
ガウス-グリーンの定理
マミコン(Mamikon)の定理

2020.08.24記
(2) 面積は

縦に切る $\displaystyle\int_0^{\pi} y\dfrac{dx}{dt} dt$ $= \displaystyle\int_0^{\pi} (1+\cos t+ t\sin t) t\sin t\, dt$

横に切る $\displaystyle\int_{\pi}^0 x\dfrac{dx}{dt} dt$ $= \displaystyle\int_0^{\pi} (t\cos t-\sin t) t\cos t\, dt$ （高校では $t=\dfrac{\pi}{2}$ での場合分けが推奨される）

そして、これらの平均として得られる（って書いてある本はほとんど見たことないが）、いわゆるガウス-グリーンの定理
$\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_{\pi}^0 \Bigl(x\dfrac{dy}{dt}- y\dfrac{dx}{dt}\Bigr) dt$ $=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} (t^2+t\sin t)dt$

の中から一番簡単そうなものを選ぶ．

[解答]
(i) $\vec{\rm OP}=\vec{\rm OA}+\vec{\rm AQ}+\vec{\rm QP}$ $=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $+\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}$ $+t\begin{pmatrix} -\cos t \\ \sin t \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} \sin t -t\cos t \\ 1+\cos t+t\sin t \end{pmatrix}$

(ii) ガウス-グリーンの定理より，求める面積 $S$ は
$\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_{\pi}^0 \Bigl(x\dfrac{dy}{dt}- y\dfrac{dx}{dt}\Bigr) dt$ $=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} (t^2+t\sin t)dt$
となる．

$\displaystyle\int_{0}^{\pi} t^2\,dt=\dfrac{\pi^3}{3}$ （多項式の積分）， $\displaystyle\int_{0}^{\pi} t\sin t\, dt=2\times \dfrac{\pi}{2}$ （面積×重心の $t$ 座標）
により， $S=\dfrac{\pi^3}{6}+\dfrac{\pi}{2}$ となる．

真面目に糸が $[t,t+\Delta t]$ の間に掃く面積を一次近似して求めてみよう．
大雑把には扇型 $\dfrac{1}{2} t^2 \Delta t$ で近似できそうだが、よりきちんと評価しておく．

[別解]
図形を $\rm A$ 中心に $t+\Delta t-\pi$ 回転すると
${\rm Q}(t+\Delta t)=(0,0)$ ，
${\rm P}(t+\Delta t)=(t+\Delta t,0)$ ，
${\rm Q}(t)=(\sin \Delta t,1-\cos \Delta t)\approx (\Delta t, 0)$ ，
${\rm P}(t)=(\sin \Delta t+t\cos \Delta t, ,1-\cos \Delta t+t\sin \Delta t)\approx (t+\Delta t, t \Delta t)$
に移る．

四角形 ${\rm P}(t){\rm Q}(t){\rm Q}(t+\Delta t){\rm P}(t+\Delta t)$ の面積は、 $\triangle {\rm Q}(t){\rm Q}(t+\Delta t){\rm P}(t+\Delta t)\approx 0$ （3点は1次近似において同一直線上）だから、
$\triangle {\rm P}(t){\rm Q}(t){\rm P}(t+\Delta t)$ $=\dfrac{1}{2}t\cdot t\Delta t$ $=\dfrac{1}{2} t^2\Delta t$
で一次近似できる．

よって，求める面積 $S$ は，半円の面積とあわせて
$S=\dfrac{\pi}{2}+\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2} t^2\, dt=\dfrac{\pi^3}{6}+\dfrac{\pi}{2}$
となる．

ちなみに伸開線の長さは、 ${\rm P}(t){\rm P}(t+\Delta t)=t\Delta t$ と近似されることから
$\displaystyle\int_0^{\pi} t\, dt=\dfrac{\pi^2}{2}$ となる．

一般に，単位円の伸開線が掃く面積および弧長は，開いた角度 $t$ を用いて $\dfrac{t^3}{6}$ および $\dfrac{t^2}{2}$ で与えられることがわかる．

2025.01.13記
マミコン(Mamikon)の定理 - 球面倶楽部零八式 mark II
Visual calculus - Wikipedia

[大人の解答]
(ii) マミコンの定理により， $\rm P$ がえがく曲線と， $x$ 軸と $\Gamma$ で囲まれた部分の面積は
$\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{\pi} |\overrightarrow{\mbox{QP}}|^2\,dt$ $=\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{\pi} t^2\,dt$ $=\dfrac{\pi^3}{6}$
であるから，求める面積 $S$ は，半円の面積とあわせて
$S=\dfrac{\pi^3}{6}+\dfrac{\pi}{2}$
となる．

マミコンの定理の証明に相当するものが，[別解] の

の部分である．