https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Tsukuba/2024/Rikei

2024.10.22記

[6] 定数 $\alpha$ は実数でない複素数とする．以下の問いに答えよ．

(1) $\dfrac{\alpha-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}$ は純虚数であることを示せ．

(2) 純虚数 $\beta$ で， $\dfrac{\beta-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}$ が純虚数となるものがただ1つ存在することを示せ．

(3) 複素数 $z$ を $\dfrac{z-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}$ が純虚数となるように動かすとき， $|z|$ が最小となる $z$ を $\alpha$ を用いて表せ．

2024.10.22記
そういえば筑波大学の問題を扱うのは初めてだ。
1883年(明治16年)東京山林学校-算術
1883年(明治16年)東京山林学校-算術 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
を除いてだけど．

結構，純虚数に「 $0$ 」が含まれないことを考慮していない解答が多い．

（2024.10.23追記--ここから--
問題文は全て
「複素数 $z$ を $\dfrac{z-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}$ が純虚数となる」
とあるので $\dfrac{z-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}=-ki$ （ $k\neq 0$ ）
から
$z-|\alpha|=ki(-\alpha-|\alpha|)$
となることがわかり，点 $-\alpha$ を $|\alpha|$ 中心に $90^{\circ}$ 回転して $|\alpha|$ 中心に（0倍以外の）定数倍をすれば $z$ となることがわかる．

つまり「複素数 $z$ を $\dfrac{z-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}$ が純虚数となる」ことと「 $z$ が $|\alpha|$ を通り，点 $-\alpha$ と点 $|\alpha|$ を通る直線に垂直な直線上にある点 $|\alpha|$ とは異なる点である」ことは同値となる．

[解答]
(1) $\mbox{O}(0)$ ， $\mbox{A}(\alpha)$ ， $\mbox{B}(\alpha+|\alpha|)$ ， $\mbox{C}(|\alpha|)$ とおくと， $\mbox{A}(\alpha)$ は実軸上にないので，四角形 $\rm OABC$ は一辺の長さが $|\alpha|$ の菱形だから $\rm OB\perp CA$ である．

$\mbox{D}(\alpha-|\alpha|)$ とおく．線分 $\rm CA$ を $-|\alpha|$ だけ平行移動すると
線分 $\rm OD$ となるので， $\rm OB\perp OD$ ，つまり $\angle\mbox{DOB}=\dfrac{\pi}{2}$ となり
$\dfrac{\alpha-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}$ は純虚数となる．

(2) $\dfrac{z-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}$ は純虚数となる必要十分条件は
$\mbox{X}(z)$ が
「直線 $\mbox{CA}$ から $\mbox{C}$ （実軸との交点）を除いた部分に存在する」
ことと同値．

$\mbox{C}$ は虚軸上になく（∵ $\alpha\neq 0$ ）， $\rm CA$ は虚軸と平行ではないので，
直線 $\rm CA$ と虚軸の交点はただ1つだけ存在し，原点ではないから，それを $\beta$ とおけばよい．

(3) 求める $z$ は直線 $\rm CA$ に原点から下した垂線の足であり，それは $\rm OB\perp CA$ の交点
$\dfrac{\alpha+|\alpha|}{2}$ であり，これは $\rm C$ とは異なる点である．

[別解]
$\alpha=r(\cos2\theta+i\sin2\theta)$ （ $\theta$ は $\pi/2$ の整数倍ではない）とおくことができる．

(1) $\mbox{O}(0)$ ， $\mbox{A}(\alpha)$ ， $\mbox{B}(\alpha+|\alpha|)$ ， $\mbox{C}(|\alpha|)$ ， $\mbox{D}(\alpha-|\alpha|)$ とおくと
$\overrightarrow{\mbox{OB}}=2r\cos\theta\left(\cos\theta，\sin\theta\right)$ ，
$\overrightarrow{\mbox{OD}}=2r\sin\theta\left(-\sin\theta，\cos\theta\right)$
だから
$\overrightarrow{\mbox{OB}}\bullet \overrightarrow{\mbox{OD}}=0$
である．よって $\angle\mbox{DOB}=\dfrac{\pi}{2}$ となり， $\dfrac{\alpha-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}$ は純虚数となる．

(2) $\dfrac{z-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}$ が純虚数となる $z=x+iy$ に対して $\mbox{X}(x，y)$ とおく．
このとき
$\overrightarrow{\mbox{CX}}\perp\overrightarrow{\mbox{OB}}$
だから，
「 $(x-r)\cos\theta+y\sin\theta=0$ かつ $x\neq r$ 」
が必要十分条件である．これは
「虚数 $x$ に対して $(x-r)\cos\theta+y\sin\theta=0$ 」
と同値である． $\theta$ は $\pi/2$ の整数倍ではないので，この直線と $y$ 軸の交点は $\left(0，\dfrac{r}{\tan\theta}\right)$ ただ1つであり，よって $\beta$ も $\beta=\dfrac{r}{\tan\theta} i$ ただ1つである．

(3) $(x-r)\cos\theta+y\sin\theta=0$ に原点から下した垂線の足は，この直線と
直線 $\rm OA$ （ $x\sin\theta=y\cos\theta$ ）との交点で，
$r\cos\theta\left(\cos\theta，\sin\theta\right)$
となり，これは $\rm OA$ の中点 $\dfrac{\alpha+|\alpha|}{2}$ となり，これは実数ではないので確かに $\dfrac{z-|\alpha|}{\alpha+|\alpha|}$ は純虚数となる．