https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Tohoku/2024/AOII

2024.09.09記

[4] 等式 $x^2+y^2+z^2-3xyz=0$ を満たす正の整数の組 $(x，y，z)$ は無限個あることを証明せよ．

本問のテーマ

マルコフ方程式（マルコフのディオファントス方程式）

2024.09.09記
マルコフ方程式（マルコフのディオファントス方程式）
マルコフ数 - Wikipedia

この手の問題は，ある解から別の解を生成する規則を見つければ良い．これを $x$ についての2次方程式とみて、そのうちの1つの解が既知の解で、もう1つの解が未知の解となれば良いと考える．

[解答]
この方程式は $X，Y，Z$ について対称であるから，ある $(X，Y，Z)$ が整数解ならば，この $X，Y，Z$ の入れ換えについても解が得られる．そこで $X\leqq Y\leqq Z$ となるように入れ換える．

今， $(X，Y，Z)$ が整数解ならば $X^2+Y^2+Z^2-3XYZ=0$ が成立する．このとき別の $(x，Y，Z)$ （ $Y，Z$ は共通）も題意をみたすならば $x^2+Y^2+Z^2-3xYZ=0$ とから $(x^2-X^2)-3(x-X)YZ=(x-X)(x+X-3YZ)=0$ となるので， $(3YZ-X，Y，Z)$ も解となる．

同様にして，対称性により，ある $(X，Y，Z)$ が整数解ならば
$(3YZ-X，Y，Z)，(X，3XZ-Y，Z)，(X，Y，3XY-Z)$
も解となる．ここで $X，Y，Z$ は正の整数であるから
$(3YZ-X)-Z\geqq 3Z^2-2Z\gt 2Z^2-2Z=2Z(Z-1)\geqq 0$
であるから， $(Y，Z，3YZ-X)$ は最大値が大きな解となるので異なる解である．

つまり，
$(X，Y，Z)\mapsto (Y，Z，3YZ-X)$
によって3つの数の内の最大値がさらに大きくなる正の整数解が得られる．

この手続を続けることにより，等式の整数解が無限個得られる．

$(1,1,1)\mapsto (1,1,2)\mapsto (1,2,5)\mapsto (2,5,29)\mapsto\cdots$ と解が次々に得られるが，この方法により無限個解が作れるが全ての解を尽くすことができる訳ではない。

より詳しい話は
mathlog.info

を参照のこと．

Wikipedia にもあるが，フィボナッチ数列も解を与える．

[別解]
$a_1=a_2=1$ ， $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ で定まるフィボナッチ数列に対して
$(1+a_{n}^2+a_{n+2}^2-3a_{n}a_{n+2})$ $-(1+a_{n-2}^2+a_{n}^2-3a_{n-2}a_{n})$
$=a_{n+2}^2-a_{n-2}^2-3a_n(a_{n+2}-a_{n-2})$
$=(a_{n+2}+a_{n-2}-3a_n)(a_{n+2}-a_{n-2})$
$=(a_{n+1}+a_n+a_n-a_{n-1}-3a_n)(a_{n+2}-a_{n-2})$
$=(a_{n+1}-a_{n-1}-a_n)(a_{n+2}-a_{n-2})=0$
であるから， $(1，a_{n-2}，a_n)$ が解ならば $(1，a_{n}，a_{n+2})$ も解である．ここで
$(1，a_1，a_3)=(1，1，2)$ は
$1+1+4-3\cdot 1\cdot 1\cdot 2=0$
より解であるから，任意の正の奇数 $n$ に対して $(1，a_n，a_{n+2})$ は解となり，よって解は無限個ある．

ペル数
$P_1=1$ ， $P_2=2$ ， $P_n=2P_{n-1}+P_n$
に対して $(2，P_{2n-1}，P_{2n+1})$ も解となることも Wikipedia にあるので確認されたし．

2025.04.06記
2023年(令和5年)山梨大学医学部後期-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR 参照