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2022.10.14記

[3] $n$ を正の整数， $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ を非負の整数として，整式
$f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+a_{n−2}x^{n−2}+\cdots +a_1+a_0$
を考える．ただし， $a_0\neq 1$ とする．
$p$ が素数ならば $f(p)$ も素数であるとき，次の(A)または(B)が成り立つことを示せ．

(A) $a_i=0(i=1,2,3,\ldots,n$ ) かつ $a_0$ は素数である．

(B) $a_i=0(i=0,2,3,4,\ldots,n$ ) かつ $a_1=1$ である．

2022.10.14記

[解答]
$f(x)$ の係数は非負であり最高次の係数が正であることから正数 $x$ に対して $f(x)\gt 0$ が成立する単調増加関数，または正に値をとる定数関数である．

(i) $a_0=0$ のとき：
素数 $p$ に対して
$f(p)\gt 0$ かつ $f(p)\equiv 0(\textrm{mod}\, p)$ であるから， $f(p)=p$
が全ての素数について成立するので， $f(x)=x$ ，つまり (B) が成り立つ．

(ii) $a_0\neq 0$ のとき：
$a_0$ が素数でないと仮定すると， $a_0$ は合成数であり，その最小の素因数を $p$ とする．
このとき
$f(p)\gt 0$ かつ $f(p)\equiv 0(\textrm{mod}\, p)$ であるから， $f(p)=p$
となるが，
$p=f(p)\geqq f(0)=a_0\gt p$
となり矛盾する．よって $a_0$ は素数である．このとき
$f(a_0)\gt 0$ かつ $f(a_0)\equiv 0(\textrm{mod}\, a_0)$ であるから， $f(a_0)=a_0$
となるが，
$a_0=f(a_0)\geqq f(0)=a_0$
より $f(a_0)=f(0)$ となる．ここで $f(x)$ は単調増加関数，または正に値をとる定数関数であるから，この条件をみたすのは定数関数の場合となるので，(A)が成り立つ．