https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Tohoku/2020/AOII

2022.10.14記

[1] 正の実数 $x$ の3乗根である実数を $\sqrt[3]{x}$ で表す．以下の手順にしたがって，
$\sqrt[3]{\dfrac{1}{9}}-\sqrt[3]{\dfrac{2}{9}}+\sqrt[3]{\dfrac{4}{9}}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}$
を証明せよ．

(1) 次の分数の分母を有理化せよ，
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}$

(2) 次の等式を示せ．
$\sqrt[3]{\dfrac{1}{9}}-\sqrt[3]{\dfrac{2}{9}}+\sqrt[3]{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+1}$

(3) 次の等式を示せ．
$\dfrac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+1}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}$

本問のテーマ

ラマヌジャンの問題682 (2023.09.01)

2022.10.14記
有名問題で，30年以上前にバイトしていた塾の中学3年生のテキストにあった $x^3+y^3+z^3-3xyz$ の因数分解の応用問題．

[解答]
(1) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}=\dfrac{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+1-\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}}{4+2+1-3\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot1}$ $=\sqrt[3]{2}-1$

(2) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}=\dfrac{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+1+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}}{4-2+1+3\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot1}$ $=\dfrac{3\sqrt[3]{2}+3}{9}$ $=\dfrac{\sqrt[3]{2}+1}{3}$
の両辺の逆数をとって両辺を $\sqrt[3]{9}$ で割ると
$\sqrt[3]{\dfrac{1}{9}}-\sqrt[3]{\dfrac{2}{9}}+\sqrt[3]{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+1}$
を得る．

(3) $(\sqrt[3]{2}+1)^3(\sqrt[3]{2}-1)$ $=(\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{4}-1)$ $=\sqrt[3]{16}-1+2(2-\sqrt[3]{2})$ $=2\sqrt[3]{2}-1+2(2-\sqrt[3]{2})$ $=3$
を変形して
$\dfrac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+1}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}$
を得る．

懐しかった．

2023.09.01記
integers.hatenablog.com
を参考に調べてみると，この恒等式はラマヌジャンが出した問題
こちらの Questions の682番であることがわかった．

682.(S.Ramanujan)
Shew how to find the cube root of surds of the form $A+\sqrt[3]{B}$ ; and deduce that
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{9}}-\sqrt[3]{\dfrac{2}{9}}+\sqrt[3]{\dfrac{4}{9}}$ .

$\sqrt{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}}=\dfrac{1}{3}(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{20}-\sqrt[3]{25})$ もラマヌジャンの問題のようだ．そう言えばバイトしていたときにそんな話を聞いた気もしないでもない．