https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Tohoku/2018/Rikei

2025.10.13記

[4] 三角形 $\mbox{ABC}$ の内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ とし， $h=\dfrac{r}{R}$ とする．また $\angle\mbox{A}=2\alpha$ ， $\angle\mbox{B}=2\beta$ ， $\angle\mbox{C}=2\gamma$ とおく．

(1) $h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ となることを示せ．

(2) 三角形 $\mbox{ABC}$ が直角三角形のとき $h\leqq\sqrt{2}-1$ が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのような場合か．

(3) 一般の三角形 $\mbox{ABC}$ に対して $h\leqq \dfrac{1}{2}$ が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのような場合か．

本問のテーマ

オイラーの不等式とオイラーの定理（外心と内心の距離）

2025.10.13記
外接円と sin なので正弦定理を使うことは思いつくでしょう．

[解答]
$2\triangle\mbox{ABC}$ $=\mbox{AB}\cdot\mbox{AC}\sin2\alpha$ $=(\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA})r$
であるから，正弦定理より $\mbox{AB}=2R\sin 2\gamma$ などを用いて
$h=\dfrac{2\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma}{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}$
が成立する．よって $h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ を示すには
$\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ なる任意の $\alpha，\beta，\gamma$ に対して
$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$
となることを示せば良く， $\gamma$ を消去することにより，任意の $\alpha，\beta$ に対して
$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2(\alpha+\beta)$ $=4\cos\alpha\cos\beta\sin(\alpha+\beta)$
が成り立つことを示せば良い．

$f(\alpha，\beta)=\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2(\alpha+\beta)$ $-4\cos\alpha\cos\beta\sin(\alpha+\beta)$ とおくと，
$\dfrac{d}{d\alpha}f(\alpha，\beta)=2\cos2\alpha+2\cos2(\alpha+\beta)$ $+4\sin\alpha\cos\beta\sin(\alpha+\beta)$ $-4\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha+\beta)$
$=2(\cos\{(2\alpha+\beta)-\beta\}+\cos\{(2\alpha+\beta)+\beta\})$ $+4\cos\beta\{\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)-\cos\alpha\cos(\alpha+\beta)\}$
$=2\cdot 2\cos(2\alpha+\beta)\cos\beta$ $-4\cos\beta\cos(2\alpha+\beta)$ $=0$
であるから， $f(\alpha)$ は $\alpha$ に関して定数関数であり，対称性から $\beta$ に関しても定数関数になる． $f(0，0)=0$ であるから，任意の $\alpha，\beta$ について $\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2(\alpha+\beta)=4\cos\alpha\cos\beta\sin(\alpha+\beta)$ が成立するので
$h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ が成立する．

(2) $\gamma=\dfrac{\pi}{4}$ ， $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$ として良く，このとき
$h=2\sqrt{2}\sin\alpha\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)$ $=2(\sin\alpha\cos\alpha-\sin^2\alpha)$ $=\sin2\alpha+\cos2\alpha-1$ $=\sqrt{2}\sin\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)-1$
は $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{4}$ において， $\alpha=\dfrac{\pi}{8}$ のときに最大値 $\sqrt{2}-1$ をとるので不等式は示された．等号成立は $2\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ のときであるから，三角形が直角二等辺三角形のときである．

(3) $h=4\sin\alpha\sin\beta\cos(\alpha+\beta)$ において $0\lt \beta\lt\dfrac{\pi}{2}$ を固定して
$\alpha$ （ $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}-\beta$ ）の関数とみて微分すると
$\dfrac{dh}{d\alpha}$ $=4\{\cos\alpha\cos(\alpha+\beta)-\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)\}\sin\beta$ $=4\cos(2\alpha+\beta)\sin\beta$
であるから $\alpha=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}$ のときに前後で符号を正から負へと変化させるので， $h$ は極大かつ最大となる．

このとき $h=4\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)\sin\beta\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\beta}{2}\right)$ $=2\sin\beta(1-\sin\beta)$ は $\beta=\dfrac{\pi}{6}$ のときに最大値 $\dfrac{1}{2}$ をとる．

よって， $h$ は $\alpha=\beta=\gamma=\dfrac{\pi}{6}$ ，つまり三角形が正三角形のときに最大値 $\dfrac{1}{2}$ をとることがわかり，題意は示された．

2025.10.20記
2006年(平成18年)京都大学後期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と似た方針で Jensen の不等式により(3)を示すことができる．

[解答]
(3) $f(x)=\log(\sin x)$ （ $0\lt x\lt \pi$ ）とおくと $f'(x)=\tan x$ ， $f''(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}$ であるから $f(x)$ は $0\lt x\lt \pi$ で上に凸である．よって Jensen の不等式により
$\dfrac{\log(\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma)}{3}$ $=\dfrac{\log(\sin\alpha)+\log(\sin\beta)+\log(\sin\gamma)}{3}$ $\leqq\log\left(\sin\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=\log\left(\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=\log \dfrac{1}{2}$ が成立するので， $h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\leqq 4\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{2}$
が成立する．