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2024.06.25記
理系は[1]〜[5]で、[3]は(a)，(b)から1問選択だった．

[3b] 3角形 $\rm ABC$ において，辺の長さは $\mbox{BC}=a$ ， $\mbox{AB}=\mbox{AC}=b$ であり，角 $\rm B$ は角 $\rm A$ の4倍である．

(1) $\cos A=\alpha$ とするとき， $\dfrac{b}{a}$ を $\alpha$ の1次式で表せ．

(2) $a^3+b^3-3ab^2$ の値を求めよ．

2024.06.25記

[解答]
(1) 正弦定理より
$\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sin 4A}{\sin A}=4\cos A\cos 2A=4\alpha(2\alpha^2-1)=8\alpha^3-4\alpha$

(2) $9A=2\pi$ より $\cos 3A=4\alpha^3-3\alpha=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ だから
$\dfrac{b}{a}=8\alpha^3-6\alpha+2\alpha=2\alpha+1$
よって
$a^3+b^3-3ab^2=(8\alpha^3-6\alpha-1)a^3=0$