https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2026/Rika

2026.03.01.23:37:48記

[2] $n$ を正の整数とする．座標平面上の $3n$ 個の点がなす集合

$\{(x，y)\, |\, x，y \mbox{ は } 1\leqq x\leqq 3，1\leqq y\leqq n \mbox{ を満たす整数}\}$

から相異なる $3$ 点を選ぶ．ただし，どの $3$ 点も等確率で選ばれるものとする．選んだ $3$ 点が三角形の $3$ 頂点となる確率を $p_n$ とする．

(1) $p_5$ を求めよ。

(2) $m$ を $2$ 以上の整数とする． $p_{2m}$ を求めよ．

2026.03.01.23:37:48記
選んだ $3$ 点が一直線上にない確率の余事象を考えます．選んだ $3$ 点が一直線上にある条件を直線の傾きで考えます．場合分けを粗く考えることもできますが，直線の傾きが∞， $0$ ，正，負と分けて，対称性から正の場合と負の場合は同じとなり，直線の傾きが∞， $0$ の場合は簡単に数えることができるので，直線の傾きが正の場合だけ考えれば良くなります．その場合，傾きを $k$ として $(1，b)$ を通過する場合を考えると，(1)では $1\leqq b$ かつ $b+2k\leqq 5$ ，つまり $1\leqq b\leqq 5-2k$ となる $b$ の個数を求めれば良く，それは $5-2k$ （ $k=1，2$ ）個となります．そして(2)では $1\leqq b$ かつ $b+2k\leqq 2m$ ，つまり $1\leqq b\leqq 2m-2k$ となる $b$ の個数を求めれば良く，それは $2m-2k$ （ $k=1，2，…，m-1$ ）個となります（以下の[解答]では(2)の傾きを $m-k$ として数えています）．

[解答]
余事象である選んだ $3$ 点が一直線上になる確率を $q_n$ とおくと $p_n=1-q_n$ が成立する．よってまず $q_n$ を求める．

(1)(i) $x$ 座標が等しいとき：
$x$ 座標が $3$ 通りあり，それぞれに対して $y$ 座標の選び方は ${}_5\mbox{C}_3$ 通りだから $3\times {}_5\mbox{C}_3=30$ 通り．

(ii) 直線の傾きが $0$ のとき：
$y$ 座標が $5$ 通りなので $5$ 通り．

(iii) 直線の傾きが自然数 $k$ のとき：
傾きは $\dfrac{5-1}{3-1}=2$ 以下である．
傾きが $1$ のとき $(1，b)$ と $(3，b+2)$ を通るのので $b=1，2，3$ の $3$ 通りが適する．
傾きが $2$ のとき $(1，b)$ と $(3，b+4)$ を通るのので $b=1$ の $1$ 通りが適する．
よって合計 $4$ 通り．

(ii) 直線の傾きが負の自然数のとき：
(iii)と同じく $4$ 通り．

以上から $30+5+4+4=43$ 通りあり，選び方 ${}_{15}\mbox{C}_3=455$ 通りは同様に確からしいので $q_5=\dfrac{43}{455}$ となり， $p_5=\dfrac{412}{455}$ となる．

(2)(i) $x$ 座標が等しいとき：
$x$ 座標が $3$ 通りあり，それぞれに対して $y$ 座標の選び方は ${}_{2m}\mbox{C}_3$ 通りだから $3\times {}_{2m}\mbox{C}_3=2m(m-1)(2m-1)$ 通り．

(ii) 直線の傾きが $0$ のとき：
$y$ 座標が $2m$ 通りなので $2m$ 通り．

(iii) 直線の傾きが自然数 $k$ のとき：
傾きは $\dfrac{2m-1}{3-1}=m-1$ 以下である．
傾きが $m-k$ （ $k=1，2，…，m-1$ ）のとき $(1，b)$ と $(3，b+2m-2k)$ を通るのので $b=1，2，…，2k$ の $2k$ 通りが適するので，合計 $2+4+\cdots+(2k-2)=m(m-1)$ 通り．

(ii) 直線の傾きが負の自然数のとき：
(iii)と同じく $m(m-1)$ 通り．

以上から $2m(m-1)(2m-1)+2m+2m(m-1)$ $=2m(2m^2-2m+1)$ 通りあり，選び方 ${}_{6m}\mbox{C}_3=2m(6m-1)(3m-1)$ 通りは同様に確からしいので $q_{2m}=\dfrac{2m^2-2m+1}{(6m-1)(3m-1)}$ となり， $p_5=\dfrac{m(16m -7)}{(6m-1)(3m-1)}$ となる．

2026.03.02記
(2)(ii)〜(iv)の合計が $2m^2$ となる部分は，代ゼミの「 $x=1，3$ の格子点の $y$ 座標の偶奇が一致すれば良いので $m^2+m^2=2m^2$ 」とするのがエレガントでした．

[うまい解答]
余事象である選んだ $3$ 点が一直線上になる確率を $q_n$ とおくと $p_n=1-q_n$ が成立する．よってまず $q_n$ を求める．

(1)(i) $x$ 座標が等しいとき：
$x$ 座標が $3$ 通りあり，それぞれに対して $y$ 座標の選び方は ${}_5\mbox{C}_3$ 通りだから $3\times {}_5\mbox{C}_3=30$ 通り．

(ii) $x$ 座標が異なるとき：
$(1，a)$ と $(3，c)$ の中点が格子点となるのは $a，c$ の偶奇が一致するとき． $1〜5$ には偶数が $2$ 個，奇数が $3$ 個だから
$2^2+3^2=13$ 通り．

以上から $30+13=43$ 通りあり，選び方 ${}_{15}\mbox{C}_3=455$ 通りは同様に確からしいので $q_5=\dfrac{43}{455}$ となり， $p_5=\dfrac{412}{455}$ となる．

(ii) $x$ 座標が異なるとき：
$(1，a)$ と $(3，c)$ の中点が格子点となるのは $a，c$ の偶奇が一致するとき． $1〜2m$ には偶数が $m$ 個，奇数が $m$ 個だから
$m^2+m^2=2m^2$ 通り．

以上から $2m(m-1)(2m-1)+2m^2$ $=2m(2m^2-2m+1)$ 通りあり，選び方 ${}_{6m}\mbox{C}_3=2m(6m-1)(3m-1)$ 通りは同様に確からしいので $q_{2m}=\dfrac{2m^2-2m+1}{(6m-1)(3m-1)}$ となり， $p_5=\dfrac{m(16m -7)}{(6m-1)(3m-1)}$ となる．