2026年(令和8年)東京大学-数学(理科)

[1](1) 関数 の区間 における最大値 および最小値 を求めよ．

(2) (1)で定めた に対し，次の不等式を示せ．

[2] を正の整数とする．座標平面上の 個の点がなす集合

から相異なる 点を選ぶ．ただし，どの 点も等確率で選ばれるものとする．選んだ 点が三角形の 頂点となる確率を とする．

(1) を求めよ。

(2) を 以上の整数とする． を求めよ．

[3] 座標空間内の原点を中心とする半径 の球面を とする． 上の相異なる 点 が次の条件を満たすように動く．

条件： は 平面上にあり，三角形 の重心は である．

以下の問いに答えよ．

(1) 線分 の中点 の軌跡を 平面上に図示せよ．

(2) 線分 が通過する範囲を 平面上に図示せよ．

[4] を実数とし，座標平面上の曲線 を で定める． 上の2点 ， に対する以下の条件 を考える．

条件 原点 ，点 ，点 は相異なり, の ，， における接線のうち，どの 本も交わり，そのなす角はすべて となる．

ただし， 直線のなす角は 以上 以下の範囲で考えるものとする．

(1) 条件 を満たす ， が存在するような の範囲を求めよ．

(2) が(1)で定まる範囲にあるとする．， が条件 を満たすように動くとき， の ，， における接線によって囲まれる三角形の面積 の最大値を ，最小値を とおく．ただし， 本の接線が 点で交わるときは とする． となる の値を求めよ．

[5] 複素数平面上の原点を中心とする半径 の円を とする．複素数 と 上の点 に対し， とおく． が 上を動くときの点 の軌跡を とする．

(1) とし， の偏角を とおく． が 上を動くとき， がとりうる値の範囲を求めよ．

(2) が次の条件を満たすように動く．

条件: は実軸の正の部分および負の部分の両方と共有点を持つ．

複素数平面上の点 が動きうる範囲の面積を求めよ．

[6] を正の整数とする． の正の約数のうち， で割って 余るものの個数を ， で割って 余るものの個数を とする．

(1) ， を求めよ．

(2) を示せ．

(3) であるとき， がとりうる値を求めよ．