https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2026/Bunka

2026.03.03.13:44:12記

[4] $k$ を実数とし，座標平面上の曲線 $C$ を $y=x^3-kx$ で定める． $C$ 上の2点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ に対する以下の条件 $(\ast)$ を考える．

条件 $(\ast)$ 原点 $\mbox{O}$ ，点 $\mbox{P}$ ，点 $\mbox{Q}$ は相異なり, $C$ の $\mbox{O}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ における接線のうち，どの $2$ 本も交わり，そのなす角はすべて $\dfrac{\pi}{3}$ となる．

ただし， $2$ 直線のなす角は $0$ 以上 $\dfrac{\pi}{2}$ 以下の範囲で考えるものとする．

(1) $-\dfrac{\pi}{2}\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{6}$ とする． $\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ を $\tan\theta$ を用いて表せ．

(2) 条件 $(\ast)$ を満たす $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が存在するような $k$ の範囲を求めよ．

(3) $k$ が(2)で定まる範囲にあるとする． $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が条件 $(\ast)$ を満たすように動くとき， $C$ の $\mbox{O}$ ， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ における接線によって囲まれる三角形の面積 $S$ の最大値を $M$ ，最小値を $m$ とおく．ただし， $3$ 本の接線が $1$ 点で交わるときは $S=0$ とする． $M=4m$ となる $k$ の値を求めよ．

2026.03.03.15:07:39記
2026年(令和8年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に(1)を加えただけなので(1)だけ解答しておきます．それ以降は理科の解答を参照してください．

(1)の $-\dfrac{\pi}{2}\lt \theta\lt\dfrac{\pi}{6}$ は $\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ が定義できるための条件として書いています．

[解答]
(1) $\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=\dfrac{\tan\theta+\tan\dfrac{\pi}{3}}{1-\tan\theta\tan\dfrac{\pi}{3}}$ $=\dfrac{\tan\theta+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\tan\theta}$
である．

(2)(3)（省略）