https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2026/Bunka

2026.03.03.13:44:12記

[3] $0\lt a\lt 1$ とし，関数 $f(x)$ を

$f(x)=\dfrac{a}{8}(x-1)^2+\dfrac{2}{a}-3$

と定める。

また，関数 $g(x)$ を次のように定める．整数 $n$ に対し，

$2n\leqq x\lt 2n+1$ のとき $g(x) = x- 2n$

$2n + 1\leqq x \lt 2n+2$ のとき $g(x) =-x + 2n +2$

とする．

(1) $x\geqq 4$ において $f(x)\gt g(x)$ を示せ。

(2) $\dfrac{1}{2}\lt a\lt\dfrac{2}{3}$ とする．座標平面上の $y=f(x)$ のグラフと $y=g(x)$ のグラフの $x\geqq 0$ の範囲における共有点の個数を求めよ．

2026.03.03.15:02:40記
$y=g(x)$ のグラフは鋸波で $(0，0)$ ， $(1，1)$ ， $(2，0)$ の折れ線の山を繰り返す周期関数となります．そして $f(x)$ は $x\geqq 1$ で単調増加ですから，(1) は結局 $4\leqq x\leqq 5$ で $f(x)\gt x-4$ を示せば十分です．

(2) は「 $(0，0)$ ， $(1，1)$ ， $(2，0)$ の折れ線の山と $y=f(x)$ の共有点の個数」と「 $(2，0)$ ， $(3，1)$ ， $(4，0)$ の折れ線の山と $y=f(x)$ の共有点の個数」を合計することを考えます．

[解答]
(1) $y=g(x)$ のグラフは $(0，0)$ ， $(1，1)$ ， $(2，0)$ の折れ線の山を繰り返す周期関数であり， $g(x)\leqq 1$ が成立する．また $f(x)$ は $x\geqq 1$ で単調増加であるから $4\leqq x\leqq 5$ で $f(x)\gt g(x)=x-4$ が成立すれば， $x\gt 5$ で $f(x)\gt f(5)=1\geqq g(x)$ が成立するので， $x\geqq 4$ において $f(x)\gt g(x)$ が成立する．

よって $4\leqq x\leqq 5$ において $f(x)-g(x)\gt 0$ が成立すれば良い．

$4\leqq x\leqq 5$ において
$f(x)-g(x)=f(x)-x+4=\dfrac{a}{8}\left(x-1-\dfrac{4}{a}\right)^2\geqq 0$
であるから，この等号が成立しなければ良く，
$0\lt a\lt 1$ で $1+\dfrac{4}{a}\gt 5$ であるから $4\leqq x\leqq 5$ において等号は成立せず，よって
$f(x)-g(x)\gt 0$
が成立する．

(2) $\dfrac{1}{2}\lt a\lt\dfrac{2}{3}$ のとき， $y=f(x)$ の頂点の $y$ 座標である $f(1)=\dfrac{2}{a}-3$ は $0\lt f(1)\lt 1$ を満たす．

$0\leqq x\leqq 1$ で $f(x)$ は単調減少， $g(x)$ は単調増加で $f(1)\lt g(1)$ であるから， $0\leqq x\leqq 1$ で $y=f(x)$ と $y=g(x)$ はただ一つの共有点を必ず持つ．そして $y=f(x)$ ， $y=g(x)$ はともに $x=1$ について線対称であるから， $0\leqq x\leqq 1$ でもただ一つの共有点を必ず持つ．

よって， $2\lt x\lt 4$ における共有点の個数を考えれば良いが，この範囲で $y=f(x)$ は下に凸の放物線， $y=g(x)$ は上に凸の $(3，0)$ で折れ曲がる折れ線であるから，共有点の数は多くても $2$ 個である．

$f(2)\gt f(1)\gt 0=g(2)$ ， $f(4)\gt f(1)\gt 0=g(4)$ であるから，

・共有点が $0$ 個となるのは $f(3)\gt 1$ のとき

・共有点が $1$ 個となるのは $f(3)=1$ のとき

・共有点が $2$ 個となるのは $f(3)\lt 1$ のとき

となる．ここで $f(3)=\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{a}-3$ は $a=\dfrac{1}{2}$ のとき $\dfrac{5}{4}\gt 1$ ， $a=\dfrac{2}{3}$ のとき $\dfrac{1}{3}\lt 1$ であるから， $f(3)=1$ となる $a$ が $\dfrac{1}{2}\lt a\lt\dfrac{2}{3}$ に必ず存在する．…(★)

$f(3)-1=\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{a}-4=\dfrac{a^2-8a+4}{a}\lt 0$ となるのは $a\gt 0$ の範囲で $4-2\sqrt{3}\lt a\lt 4+2\sqrt{3}$ であるが，(★)と $4+2\sqrt{3}\gt \dfrac{2}{3}$ から $a=4+2\sqrt{3}$ が範囲外であることから

$\dfrac{1}{2}\lt a\lt\dfrac{2}{3}$ において $f(3)\gt 1$ となる $a$ は $\dfrac{1}{2}\lt a\lt 4-2\sqrt{3}$ ，
$\dfrac{1}{2}\lt a\lt\dfrac{2}{3}$ において $f(3)=1$ となる $a$ は $a=4-2\sqrt{3}$ ，
$\dfrac{1}{2}\lt a\lt\dfrac{2}{3}$ において $f(3)\lt 1$ となる $a$ は $4-2\sqrt{3}\lt a\lt\dfrac{2}{3}$
となる．よって

$\dfrac{1}{2}\lt a\lt 4-2\sqrt{3}$ のとき共有点は $2$ 個，
$a=4-2\sqrt{3}$ のとき共有点は $3$ 個，
$4-2\sqrt{3}\lt a\lt\dfrac{2}{3}$ のとき共有点は $4$ 個

となる．

$x+\dfrac{1}{x}$ が $0\lt x\lt 1$ で単調減少であることを思い出すと， $f(3)$ は $0\lt a\leqq 2$ で単調減少であることがわかるので，やや理系の範囲となりますが，これを利用するともう少し議論が簡単になります．