https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2026/Bunka

2026.03.03.13:44:12記

[1] 正の実数 $k$ および $\alpha\lt\beta$ となる実数 $\alpha，\beta$ が次の条件を満たすように動く．

条件：座標平面上の放物線 $C：y= k(x-\alpha)(\beta-x)$ の頂点は $(-3，1)$ であり， $C$ は $y$ 軸と $-2\leqq y\leqq 0$ の範囲で交わる．

このとき， $C$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ のとりうる値の範囲を求めよ．

2026.03.03.14:09:53記
理系の大変さに比べて易しくて優しい問題です．放物線が開くほど面積が単調に大きくなるので $(-2，0)$ を通るときが最小， $(0，0)$ を通るときが最大となり，放物線弧を含む長方形の面積の $\dfrac{2}{3}$ が $S$ となるので $S=\dfrac{4}{3\sqrt{k}}$ はすぐにわかります．よって $\dfrac{4}{\sqrt{3}}\leqq S\leqq 4$ まで含めて一直線です．

[解答]
放物線 $y=-kx^2+\cdots$ と $x$ 軸交点は軸 $x=-3$ に対して対称の位置にあり，頂点の $y$ 座標が $1$ であることから， $\alpha=-3-\dfrac{1}{\sqrt{k}}，\beta=-3+\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ となる．ここで $\dfrac{1}{\sqrt{k}}=u$ とおくと
$S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} k(x-\alpha)(\beta-x)\, dx$ $=\displaystyle\int_{-3-u}^{-3+u} \dfrac{1}{u^2}\{ u^2-(x+3)^2\}\, dx$ $=\dfrac{2}{u^2}\displaystyle\int_{0}^{u} (u^2-x^2)\, dx$ $=\dfrac{2}{u^2}\left(u^3-\dfrac{u^3}{3}\right)$ $=\dfrac{4}{3}u$
となる．ここで $C$ と $y$ 軸の交点の $y$ 座標は
$-2\leqq -k\alpha\beta=-\dfrac{9-u^2}{u^2}\leqq 0$
を満たすので $\sqrt{3}\leqq u\leqq 3$ であるから $S$ のとりうる値の範囲は
$\dfrac{4}{\sqrt{3}}\leqq S\leqq 4$
となる．