2026年(令和8年)東京大学-数学(文科)

[1] 正の実数 および となる実数 が次の条件を満たすように動く．

条件：座標平面上の放物線 の頂点は であり， は 軸と の範囲で交わる．

このとき， と 軸で囲まれる図形の面積 のとりうる値の範囲を求めよ．

[2] を正の整数とする．座標平面上の 個の点がなす集合

から相異なる 点を選ぶ．ただし，どの 点も等確率で選ばれるものとする．選んだ 点が三角形の 頂点となる確率を とする．

(1) を求めよ。

(2) を 以上の整数とする． を求めよ．

[3] とし，関数 を

と定める。

また，関数 を次のように定める．整数 に対し，

のとき

のとき

とする．

(1) において を示せ。

(2) とする．座標平面上の のグラフと のグラフの の範囲における共有点の個数を求めよ．

[4] を実数とし，座標平面上の曲線 を で定める． 上の2点 ， に対する以下の条件 を考える．

条件 原点 ，点 ，点 は相異なり, の ，， における接線のうち，どの 本も交わり，そのなす角はすべて となる．

ただし， 直線のなす角は 以上 以下の範囲で考えるものとする．

(1) とする． を を用いて表せ．

(2) 条件 を満たす ， が存在するような の範囲を求めよ．

(3) が(2)で定まる範囲にあるとする．， が条件 を満たすように動くとき， の ，， における接線によって囲まれる三角形の面積 の最大値を ，最小値を とおく．ただし， 本の接線が 点で交わるときは とする． となる の値を求めよ．