https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2025/Rika

2025.02.26記

[4] この問いでは， $0$ 以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ． $a$ を正の整数とし， $f_a(x)=x^2+x-a$ とおく．

(1) $n$ を正の整数とする． $f_a(n)$ が平方数ならば， $n\leqq a$ であることを示せ．

(2) $f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく．次の条件(i)，(ii)が同値であることを示せ．

(i) $N_a=1$ である．

(ii) $4a+1$ は素数である．

2025.02.25記

[解答]
(1) $n\gt a$ のとき $n=a+k$ （ $k\gt 0$ ）とおくと
$(a+k)\lt f_a(n)=(a+k)^2+k\lt (a+k)^2+2(a+k)+1=(a+k+1)^2$
により $f_a(n)$ は平方数ではないので， $f_a(n)$ が平方数ならば $n\leqq a$

(2) $f_a(a)=a^2$ は平方数であるから $N_a\geqq 1$ が成立する．

$f_a(n)$ が平方数 $A^2$ （ $A$ は非負整数）であるとすると $n^2+n-a=A^2$ であり，この式を4倍すると
$(2n+1)^2-(2A)^2=4a+1$ ，
つまり
$\{2(n-A)+1\}\{2(n+A)+1\}=4a+1$
と変形できる．

この式で $n=A$ ならば $n=a$ が成立し， $n=a$ ならば $A=a=n$ が成立するので， $n=A$ と $n=a$ は同値である．

さて，奇数 $4a+1$ が合成数であるとすると3以上の2つの奇数 $p，q$ （ $p\leqq q$ ）の積で表現できる．mod 4 で
$pq\equiv 1$ であるから，
$p\equiv q\equiv 1$ または $p\equiv q\equiv 3$
のいずれかとなる．

(a) $p\equiv q\equiv 1$ のとき：
$p=4P+1$ ， $p=4Q+1$ （ $P，Q$ は $P\leqq Q$ なる正の整数）とおけ，
$n-A=2P，n+A=2Q$ により $n=P+Q，A=Q-P$ （ $n，A$ は $n\gt 0，A\geqq 0$ なる整数）が得られるが
$P\geqq 1$ より $n\neq A$ となるので， $n\neq a$ となり， $N_a\geqq 2$ となる．

(b) $p\equiv q\equiv 3$ のとき：
$p=4P-1$ ， $p=4Q-1$ （ $P，Q$ は $P\leqq Q$ なる正の整数）とおけ，
$n-A=2P-1，n+A=2Q-1$ により $n=P+Q-1，A=Q-P$ （ $n，A$ は $n\gt 0，A\geqq 0$ なる整数）が得られるが
$n$ と $A$ は偶奇が異なるので $n\neq A$ となり， $n\neq a$ となり， $N_a\geqq 2$ となる．