https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2025/Rika

2025.02.26記

[3] 平行四辺形 $\rm ABCD$ において， $\angle\rm ABC=\dfrac{\pi}{6}$ ， $\mbox{AB}=a$ ， $\mbox{BC}=b$ ， $a\leqq b$ とする．次の条件を満たす長方形 $\rm EFGH$ を考え，その面積を $S$ とする．

条件：点 $\rm A$ ， $\rm B$ ， $\rm C$ ， $\rm D$ はそれぞれ辺 $\rm EF$ ， $\rm FG$ ， $\rm GH$ ， $\rm HE$ 上にある．ただし，辺はその両端の点も含むものとする．

(1) $\angle\rm BCG=\theta$ とするとき， $S$ を $a，b，\theta$ を用いて表せ．

(2) $S$ のとりうる値の最大値を $a，b$ を用いて表せ．

2025.02.25記

[解答]
(1) $\angle\rm DCH=\varphi$ とおくと $\theta+\varphi=\dfrac{\pi}{6}$ であり，
$\mbox{FG}=a\sin\varphi+b\sin\theta$ ， $\mbox{GH}=a\cos\varphi+b\cos\theta$
であるから，
$S=\mbox{FG}\cdot\mbox{GH}$ $=\dfrac{a^2}{2}\sin2\varphi+\dfrac{b^2}{2}\sin2\theta+ab\sin(\theta+\varphi)$ $=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{4}\cos2\theta+\dfrac{2b^2-a^2}{4}\sin2\theta+\dfrac{ab}{2}$

(2) $S=\dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} \sqrt{3}a^2 \\ 2b^2-a^2 \end{pmatrix}\bullet \begin{pmatrix} \cos2\theta \\ \sin2\theta \end{pmatrix}+\dfrac{ab}{2}$ とみて
$\begin{pmatrix} \sqrt{3}a^2 \\ 2b^2-a^2 \end{pmatrix}\bullet \begin{pmatrix} \cos2\theta \\ \sin2\theta \end{pmatrix}$ の $0\leqq2\theta\leqq\dfrac{\pi}{3}$ における最大値を評価するために $\begin{pmatrix} \sqrt{3}a^2 \\ 2b^2-a^2 \end{pmatrix}$ の鋭角である偏角の正接 $\dfrac{2b^2-a^2}{\sqrt{3}a^2}$ と $\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}$ の大小によって場合分けをする．

(i) $\dfrac{2b^2-a^2}{\sqrt{3}a^2}\geqq\sqrt{3}$ ，すなわち $b\geqq \sqrt{2}a$ のとき：
$2\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のときに $S$ は最大値 $\dfrac{\sqrt{3}b^2+2ab}{4}$ をとる．

(ii) $\dfrac{2b^2-a^2}{\sqrt{3}a^2}\leqq\sqrt{3}$ ，すなわち $(a\leqq) b\leqq \sqrt{2}a$ のとき：
$\cos2\theta:\sin2\theta=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{4}:\dfrac{2b^2-a^2}{4}$ のときに（内積は長さの積となり最大となるので） $S$ は最大値 $\dfrac{\sqrt{a^4-a^2b^2+a^4}+ab}{2}$ をとる．