https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2025/Rika

2025.02.26記

[2] (1) $x\gt 0$ のとき，不等式 $\log x\leqq x-1$ を示せ．

(2) 次の極限を求めよ．
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\int_1^2 \log \left(\dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)\, dx$

本問のテーマ

一般化 $f$ 平均(2025.07.17)

2025.02.25記

[解答]
(1) $y=\log x$ は上に凸なので $x=1$ における接線 $y=x-1$ よりも下にあるので $\log x\leqq x-1$ となる．

(2) (1)により $x\gt 0$ のとき $\log\left(\dfrac{1+x^{1/n}}{2}\right)\leqq\dfrac{x^{1/n}-1}{2}$ であり，Jensen の不等式により
$\dfrac{\log 1 + \log x^{1/n}}{2}\leqq \log\left(\dfrac{1+x^{1/n}}{2}\right)$ だから
$\dfrac{1}{2n}\log x\leqq \log\left(\dfrac{1+x^{1/n}}{2}\right)\leqq\dfrac{x^{1/n}-1}{2}$ ，
つまり
$\dfrac{1}{2}\log x\leqq n \log\left(\dfrac{1+x^{1/n}}{2}\right)\leqq\dfrac{x^{1/n}-1}{2/n}$ ，
が成立する．両辺を1から2まで積分して
$\dfrac{2\log2-1}{2}\leqq n\displaystyle\int_1^2 \log\left(\dfrac{1+x^{1/n}}{2}\right)\, dx$ $\leqq \dfrac{1}{2/n}\left(\dfrac{n}{n+1}\left(2^{1+1/n}-1\right)-1\right)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{n}{n+1}\cdot \dfrac{2^{1+1/n}-2}{1/n}-\dfrac{n}{2(n+1)}$
となり， $n\to\infty$ で $\dfrac{2^{1+1/n}-2}{1/n}$ が $y=2^x$ の $x=1$ における微分係数に収束することに注意すると，右辺は $\dfrac{2\log2-1}{2}$ に収束するので，はさみうちの原理により求める極限値は $\dfrac{2\log2-1}{2}$ となる．

$\log$ の Jensen は AM-GM だった、、、．

2025.07.17記
本問を極限と積分が交換すると仮定して（ルベーグの優収束定理から言える）答を求める方法は早くから X で流れていたのだが，放置していたので，そろそろ言及しておこう．

$\mu_f=f^{-1}\left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n f(x_i)\right)$ を一般化 $f$ 平均という．相加平均は $f(x)=x$ ，相乗平均は $f(x)=\log x$ ，調和平均は $f(x)=\dfrac{1}{x}$ であり，本問では $f(x)=e^x$ の場合である．

さて， $n=2$ として $x$ と $x+\Delta x$ の一般化 $f$ 平均は
$f^{-1}\left(\dfrac{f(x)+f(x+\Delta x)}{2}\right)$ $=f^{-1}\left(f(x)+\dfrac{f'(x)}{2}\Delta x+o(\Delta x^2)\right)$ $=x+\dfrac{f'(x)}{2f(x)}\Delta x+o(\Delta x^2)$
となる．本問の場合
$f(x)=e^x$ ， $x=0$ であり，このとき $e^{\Delta x}=x^{\frac{1}{n}}$ であるから $\Delta x=\dfrac{\log x}{n}$ となるので
$\log \left(\dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)$ $=0+\dfrac{e^0}{2e^0}\cdot\dfrac{\log x}{n}+\varepsilon(n)$ $=\dfrac{\log x}{2n}+\varepsilon(n)$
となる．ここで $n\varepsilon(n)\to 0$ （ $n\to\infty$ ）が成立する．

よって極限と積分が交換すると仮定すると（ルベーグの優収束定理から言える）
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\int_1^2 \log \left(\dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)\, dx$ $=\displaystyle\int_1^2\lim_{n\to\infty} n\log \left(\dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)\, dx$ $=\displaystyle\int_1^2 \dfrac{\log x}{2}\, dx$ $=\Bigl[ \dfrac{x\log x-x}{2}\Bigr]_1^2$ $=\dfrac{2\log 2-1}{2}$
が言える．

なお，

math-tomoshibi.com

も参考になるだろう．

この話と
備忘録：LogSumExp(RealSoftMax) - 球面倶楽部零八式 mark II
を繋げようかと思ったが，右側の評価が微妙なのでとりあえず放置．