https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2025/Rika

2025.02.26記

[1] 座標平面上の点 $\mbox{A}(0，0)$ ， $\mbox{B}(0，1)$ ， $\mbox{C}(1，1)$ ， $\mbox{D}(1，0)$ を考える．実数 $0\lt t\lt 1$ に対して，線分 $\rm AB$ ， $\rm BC$ ， $\rm CA$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mbox{P}_t$ ， $\mbox{Q}_t$ ， $\mbox{R}_t$ とし，線分 $\rm \mbox{P}_t\mbox{Q}_t$ ， $\mbox{Q}_t\mbox{R}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mbox{S}_t$ ， $\mbox{T}_t$ とする．さらに線分 $\rm \mbox{S}_t\mbox{T}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mbox{U}_t$ とする．また，点 $\mbox{A}$ を $\mbox{U}_0$ ，点 $\mbox{D}$ を $\mbox{U}_1$ とする．

(1) 点 $\mbox{U}_t$ の座標を求めよ．

(2) $t$ が $0\leqq t\leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\mbox{U}_t$ が描く曲線と，線分 $\rm AD$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3) $a$ を $0\lt a\lt 1$ を満たす実数とする． $t$ が $0\leqq t\leqq a$ の範囲を動くときに点 $\mbox{U}_t$ が描く曲線の長さを， $a$ の多項式の形で求めよ．

本問のテーマ

ベジエ(Bézier)曲線（ド・カステリョのアルゴリズム）

ベジェ曲線 - Wikipedia

2025.02.25記
(3) の「多項式の形で求めよ」は弧長を計算するときに登場するルートが外れるというヒントなので，ルート内の4次式が完全平方式になるはずだと思う．

本問によって定義される曲線を（ $t$ の3次式でパラメータ表示されるので）3次のベジエ曲線という．内分点を繰り返すことによってベジエ曲線を得るアルゴリズムをド・カステリョのアルゴリズム
 De Casteljau's algorithm - Wikipedia
という．

[解答]
(1) $\overrightarrow{\mbox{OU}_t}=t\overrightarrow{\mbox{OT}_t}+(1-t)\overrightarrow{\mbox{OS}_t}$
$=t(t\overrightarrow{\mbox{OR}_t}+(1-t)\overrightarrow{\mbox{OQ}_t})+(1-t)(t\overrightarrow{\mbox{OQ}_t}+(1-t)\overrightarrow{\mbox{OP}_t})$
$=t^2\overrightarrow{\mbox{OR}_t}+2t(1-t)\overrightarrow{\mbox{OQ}_t}+(1-t)^2\overrightarrow{\mbox{OP}_t}$
$=t^2\begin{pmatrix} 1 \\ 1-t \end{pmatrix}+2t(1-t)\begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix}+(1-t)^2\begin{pmatrix} 0 \\ t \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 3t^2-2t^3 \\ 3t-3t^2 \end{pmatrix}$
となるので $\mbox{U}_t(3t^2-2t^3，3t-3t^2)$ である．

(2) $x=3t^2-2t^3，y=3t-3t^2$ であり， $\dfrac{dx}{dt}=6t(1-t)$ より $x$ は $0\lt t\lt 1$ で単調増加， $y=3t(1-t)\geqq 0$ であるから求める面積は
$\displaystyle\int_{0}^{1} y\dfrac{dx}{dt}\, dt$ $=18 \displaystyle\int_0^1 t^2(1-t)^2\,dt=\dfrac{3}{5}$
となる．

(3) さらに $\dfrac{dy}{dt}=3(1-2t)$ であるから求める弧長は
$\displaystyle\int_0^a \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\, dt$ $=\displaystyle\int_0^a 3\sqrt{4t^4-8t^3+8t^2-4t+1}\, dt$ $=\displaystyle\int_0^a 3(2t^2-2t+1)\,dt=2a^3-3a^2+3a$
となる．

(3) のヒントに基づいて $4t^4-8t^3+8t^2-4t+1$ は完全平方式になるはず，と思うと $t^4$ の係数と定数項から
$(2t^2+At\pm 1)^2$
と平方完成できるはずで， $t^3$ の係数から $A=-2$ が得られ
$(2t^2-2t\pm 1)^2$
を展開してみると
$4t^4-8t^3+8t^2-4t+1=(2t^2-2t+1)^2$
となることがわかる．

manabitimes.jp

ベジエ曲線，というからには
$\overrightarrow{\mbox{OU}_t}=t^3\overrightarrow{\mbox{OD}}+3t^2(1-t)\overrightarrow{\mbox{OC}}+3t(1-t)^2\overrightarrow{\mbox{OB}}+(1-t)^3\overrightarrow{\mbox{OA}}$
$=t^3\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+3t^2(1-t)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+3t(1-t)^2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}+(1-t)^3\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 3t^3-2t^3 \\ 3t-3t^2 \end{pmatrix}$
と制御点のベルンシュタイン多項式を利用した凸結合で表現した方が元ネタに敬意を払った感じがする（係数は二項係数で制御点が逆順に並ぶ，この表現を見ると本問の四角形の頂点が時計回りに並んでいる気持ちが少しわかるだろう）．