https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2025/Rika

2025.02.26記

[1] 座標平面上の点
$\mbox{A}(0，0)$ ， $\mbox{B}(0，1)$ ， $\mbox{C}(1，1)$ ， $\mbox{D}(1，0)$ を考える．実数 $0\lt t\lt 1$ に対して，線分 $\rm AB$ ， $\rm BC$ ， $\rm CA$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mbox{P}_t$ ， $\mbox{Q}_t$ ， $\mbox{R}_t$ とし，線分 $\rm \mbox{P}_t\mbox{Q}_t$ ， $\mbox{Q}_t\mbox{R}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mbox{S}_t$ ， $\mbox{R}_t$ とする．さらに線分 $\rm \mbox{S}_t\mbox{t}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mbox{U}_t$ とする．また，点 $\mbox{A}$ を $\mbox{U}_0$ ，点 $\mbox{D}$ を $\mbox{U}_1$ とする．

(1) 点 $\mbox{U}_t$ の座標を求めよ．

(2) $t$ が $0\leqq t\leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\mbox{U}_t$ が描く曲線と，線分 $\rm AD$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3) $a$ を $0\lt a\lt 1$ を満たす実数とする． $t$ が $0\leqq t\leqq a$ の範囲を動くときに点 $\mbox{U}_t$ が描く曲線の長さを， $a$ の多項式の形で求めよ．

[2] (1) $x\gt 0$ のとき，不等式 $\log x\leqq x-1$ を示せ．

(2) 次の極限を求めよ．
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\int_1^2 \log \left(\dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}\right)\, dx$

[3] 平行四辺形 $\rm ABCD$ において， $\angle\rm ABC=\dfrac{\pi}{6}$ ， $\mbox{AB}=a$ ， $\mbox{BC}=b$ ， $a\leqq b$ とする．次の条件を満たす長方形 $\rm EFGH$ を考え，その面積を $S$ とする．

条件：点 $\rm A$ ， $\rm B$ ， $\rm C$ ， $\rm D$ はそれぞれ辺 $\rm EF$ ， $\rm FG$ ， $\rm GH$ ， $\rm HE$ 上にある．ただし，辺はその両端の点も含むものとする．

(1) $\angle\rm BCG=\theta$ とするとき， $S$ を $a，b，\theta$ を用いて表せ．

(2) $S$ のとりうる値の最大値を $a，b$ を用いて表せ．

[4] この問いでは， $0$ 以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ． $a$ を正の整数とし， $f_a(x)=x^2+x-a$ とおく．

(1) $n$ を正の整数とする． $f_a(n)$ が平方数ならば， $n\leqq a$ であることを示せ．

(2) $f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく．次の条件(i)，(ii)が同値であることを示せ．

(i) $N_a=1$ である．

(ii) $4a+1$ は素数である．

[5] $n$ を2以上の整数とする． $1$ から $n$ までの数字が書かれた札が各1枚ずつ合計 $n$ 枚あり，横一列におかれている． $1$ 以上 $(n-1)$ 以下の整数 $i$ に対して，次の操作 $(\rm T_i)$ を考える．

$(\rm T_i)$ 　左から $i$ 番目の札の数字が，左から $(i+1)$ 番目の札の数字よりも大きければ，これら2枚の札の位置を入れかえる．そうでなければ，札の位置をかえない．

最初の状態において札の数字は左から $A_1，A_2，\ldots，A_n$ であったとする．この状態から $(n-1)$ 回の操作 $(\rm T_1)$ ， $(\rm T_2)$ ， $\ldots$ ， $(\rm T_{n-1})$ を順に行った後，続けて $(n-1)$ 回の操作 $(\rm T_{n-1})$ ， $\ldots$ ， $(\rm T_{2})$ ， $(\rm T_{1})$ を順に行ったところ，札の数字は左から $1，2，\ldots，n$ と小さい順に並んだ．以下の問いに答えよ．