https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2025/Bunka

2025.03.02記

[4] $a$ を実数とする．座標平面において，次の連立不等式の表す領域の面積を $S(a)$ とする．
$\left\{ \begin{array}{l} y \leqq -\dfrac{1}{2}x^2+2 \\ y \geqq |x^2+a| \\ -1 \leqq x \leqq 1 \end{array}\right.$
$a$ が $-2 \leqq a \lt 2$ の範囲を動くとき， $S(a)$ の最大値を求めよ．

2025.03.02記

[解答]
不等式の表す領域を $D(a)$ とする．

$-2 \leqq a \leqq -1$ なる任意の $p\lt q$ に対して $D(p)$ は $D(q)$ に含まれるので，この範囲で $S(a)$ は単調増加である．

$0 \leqq a \lt 2$ なる任意の $p\lt q$ に対して $D(p)$ は $D(q)$ を含むので，この範囲で $S(a)$ は単調減少である．

よって， $-1\leqq a\leqq 0$ の範囲で考えれば良く，この範囲で
$S(a)=2\displaystyle\int_0^{1} \left(2-\dfrac{1}{2}x^2\right)\, dx-2\displaystyle\int_0^{1} |x^2+a|\, dx$ $=\dfrac{11}{3}-2\displaystyle\int_0^{1} |x^2+a|\, dx$
の最大値を求めれば良く，そのためには
$\displaystyle\int_0^{1} |x^2+a|\, dx$
を最小にすれば良い．はみだし削り論法から，この積分は $a=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=-\dfrac{1}{4}$ のときに最小となる．

このとき， $S(a)=\dfrac{11}{3}-\dfrac{1}{6}-2\cdot\dfrac{1-1/8}{3}+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}$ $=\dfrac{19}{6}$ となる．