https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2025/Bunka

2025.03.02記

[3] 白玉2個が横に並んでいる．投げたとき表と裏のでる確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ のコインを
用いて，次の手順(＊)をくり返し，白玉または黒玉を横一列に並べていく．

手順(＊) コインを投げ，表がでたら白玉，裏がでたら黒玉を，それまでに並べられている一番右にある玉の右隣におく．そして，新しくおいた玉の色がその1つ左の玉の色と異なり，かつ2つ左の玉の色と一致するときには，新しくおいた玉の1つ左の玉を新しくおいた玉と同じ色の玉にとりかえる．

例えば，手順(＊)を2回行いコインが裏，表の順にでた場合には，白玉が4つ並ぶ．正の整数 $n$ に対して，手順(＊)を $n$ 回行った時点での $(n+2)$ 個の玉の並び方を考える．

(1) $n=3$ のとき，右から2番目の玉が白玉である確率を求めよ．

(2) $n$ を正の整数とする．右から2番目の玉が白玉である確率を求めよ．

(3) $n$ を正の整数とする．右から1番目と2番目の玉がともに白玉である確率を求めよ．

マルコフ過程

2025.03.02記

[解答]
（○とか●の入力が面倒なので）白玉を $0$ ，黒玉を $1$ とし，玉の並びを2進数だと思う．例えば ○○●●○ は2進数の $00110$ で10進数では $6$ を表す．

$…00$ は $…000$ ， $…001$ にそれぞれ確率 $1/2$ に遷移する．
$…01$ は $…000$ ， $…011$ にそれぞれ確率 $1/2$ に遷移する．
$…10$ は $…100$ ， $…111$ にそれぞれ確率 $1/2$ に遷移する．
$…11$ は $…110$ ， $…111$ にそれぞれ確率 $1/2$ に遷移する．

$n+2$ 桁の2進数の末尾が $00$ である確率を $p_n$ ，
$n+2$ 桁の2進数の末尾が $01$ である確率を $q_n$ ，
$n+2$ 桁の2進数の末尾が $10$ である確率を $r_n$ ，
$n+2$ 桁の2進数の末尾が $11$ である確率を $s_n$

とすると $p_0=1$ ， $q_0=r_0=s_0=0$ であり，
$p_{n+1}=\dfrac{1}{2}(p_n+q_n+r_n)$ ，
$q_{n+1}=\dfrac{1}{2}p_n$ ，
$r_{n+1}=\dfrac{1}{2}s_n$ ，
$s_{n+1}=\dfrac{1}{2}(q_n+r_n+s_n)$
が成立する．
$p_{n+1}-s_{n+1}=\dfrac{1}{2}(p_n-s_n)$ $=\dfrac{1}{2^{n+1}}(p_0-s_0)=\dfrac{1}{2^{n+1}}$
であり， $p_n+q_n+r_n+s_n=1$ から
$p_{n+1}+s_{n+1}=\dfrac{1}{2}(p_n+2q_n+2r_n+s_n)$ $=1-\dfrac{1}{2}(p_n+s_n)$
なり，
$p_{n+1}+s_{n+1}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(p_n+s_n-\dfrac{2}{3}\right)$ $=\dfrac{1}{3\cdot (-2)^{n+1}}$
が成立する．よって
$p_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2\cdot 2^{n}}+\dfrac{1}{6\cdot(-2)^{n}}$ （ $n\geqq 1$ ， $n=0$ でも成立）

$s_n=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2\cdot 2^{n}}+\dfrac{1}{6\cdot(-2)^n}$ （ $n\geqq 1$ ， $n=0$ でも成立）

となる． $q_{n+1}=\dfrac{1}{2}p_n$ より
$q_{n}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2\cdot 2^{n}}-\dfrac{1}{6\cdot(-2)^{n}}$ （ $n\geqq 1$ ， $n=0$ では成立しない）
となり，
$p_n+q_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^n}$ （ $n\geqq 1$ ， $n=0$ では成立しない）となる．

(1) $p_3+q_3=\dfrac{5}{8}$ である．

(2) $n$ は正の整数だから $p_n+q_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^n}$ である．

(3) $p_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2\cdot 2^{n}}+\dfrac{1}{6\cdot(-2)^{n}}$ である．

$p_{n+1}+r_{n+1}=\dfrac{1}{2}(p_n+q_n+r_n+s_n)=\dfrac{1}{2}$ だから，
$p_0+r_0=1$ ， $p_1+r_1=\dfrac{1}{2}$ ， $p_2+r_2=\dfrac{1}{2}$ ， $p_3+r_3=\dfrac{1}{2}$ ，…
と初項のみが異なる数列となる．