https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2025/Bunka

2025.03.02記

[2] 平面上で $\mbox{AB}=\mbox{AC}=1$ である二等辺三角形 $\mbox{ABC}$ を考える．正の実数 $r$ に対し， $\mbox{A，B，C}$ それぞれを中心とする半径 $r$ の円3つを合わせた領域を $D_r$ とする．ただし，この問いでは，三角形と円は周とその内部からなるものとする．辺 $\mbox{AB，AC，BC}$ がすべて $D_r$ に含まれるような最小の $r$ を $s$ ，三角形 $\mbox{ABC}$ が $D_r$ に含まれるような最小の $r$ を $t$ と表す．

(1) $\angle\mbox{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$ のとき， $s$ と $t$ を求めよ．
(2) $\angle\mbox{BAC}=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき， $s$ と $t$ を求めよ．
(3) $0\lt \theta\lt \pi$ を満たす $\theta$ に対して， $\angle\mbox{BAC}=\theta$ のとき，
$s$ と $t$ を $\theta$ を用いて表せ．

2025.03.02記
外心が $\triangle\rm ABC$ の内部にあるかどうかが問題となる．外接円の半径は最大辺の半分以上であるから

外心が三角形の内部にあるとき， $s\lt t$ ，
外心が三角形の周または外部にあるとき， $s=t$

となることがわかる．

[解答]
(1) 三角形 $\mbox{ABC}$ は一辺1の正三角形だから $s$ は一辺の長さの半分で $s=\dfrac{1}{2}$ ， $t$ は外接円の半径で $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ となる．

(2) $\mbox{BC}$ 上に $\rm D$ を $\rm AD=BD$ となるようにとるとき， $s=\mbox{BD}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ （一辺1の正三角形の頂点と重心の距離に等しい）となり，このとき三角形 $\mbox{ABC}$ は $D_r$ に含まれるので $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ となる．

(3) (i) $0\lt \theta\leqq\dfrac{\pi}{3}$ のとき， $s=\dfrac{\mbox{AB}}{2}=\dfrac{1}{2}$ ， $t$ は三角形 $\rm ABC$ の外接円の半径 $t=\dfrac{1}{2\cos\dfrac{\theta}{2}}$ となる．

(ii) $\dfrac{\pi}{3}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ のとき，外心が $\triangle\rm ABC$ の周または内部にあるので $s=\dfrac{\mbox{BC}}{2}=\sin\dfrac{\theta}{2}$ ， $t$ は三角形 $\rm ABC$ の外接円の半径 $t=\dfrac{1}{2\cos\dfrac{\theta}{2}}$ となる．

(iii) $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\lt\pi$ のとき，外心が $\triangle\rm ABC$ の外部にあるので $s=t=\dfrac{\mbox{BC}}{2}=\sin\dfrac{\theta}{2}$ となる．