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2025年(令和7年)東京大学-数学(文科)[1]

2025.03.02記

[1] $a$ を正の実数とする．座標平面において，放物線 $C:y=x^2$ 上の点 $\mbox{P}(a，a^2)$ における $C$ の接線と直交し， $\mbox{P}$ を通る直線を $l$ とおく． $l$ と $C$ の交点のうち， $\mbox{P}$ と異なる点を $\mbox{Q}$ とおく．

(1) $\mbox{Q}$ の $x$ 座標を求めよ．

$\mbox{Q}$ における $C$ の接線と直交し， $\mbox{Q}$ を通る直線を $m$ とおく． $m$ と $C$ の交点のうち， $\mbox{Q}$ と異なる点を $\mbox{R}$ とおく．

(2) $a$ がすべての正の実数を動くとき， $\mbox{R}$ の $x$ 座標の最小値を求めよ．

2025.03.02記

[解答]
(1) $l$ の傾きは $-\dfrac{1}{2a}$ であるから $\rm Q$ の $x$ 座標は $-a-\dfrac{1}{2a}$ となる．

(2) $b=a+\dfrac{1}{2a}$ とおくと $\rm R$ の $x$ 座標は $b+\dfrac{1}{2b}$ （ $=c$ とおく）となる．

$t+\dfrac{1}{2t}$ は $0\lt t\leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で単調減少で， $t\geqq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で単調増加だから，

$a\gt 0$ のときの $b$ の値域は $b\geqq \sqrt{2}$ （等号は $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ）となり， $b\geqq \sqrt{2}$ のときの $c$ の値域は $c\geqq \dfrac{5}{2\sqrt{2}}$ （等号は $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}，b=\sqrt{2}$ ）となる．

何か，合成関数の値域の問題として1976年理科新課程一次試験[III] の

[III] $x$ の関数
$f(x)=a(x^2+2x+4)^2+3a(x^2+2x+4)+b$
は最小値 $37$ をもち， $f(-2)=57$ であるという．

次の［　］にあてはまる数は何か．

$a=$ ［ケ］， $b=$ ［コ］， $f($ ［サ］ $)=37$ ， $f(1)=$ ［シ］

を思い出した． $a=2$ ， $b=1$ ， $f(-1)=37$ ， $f(1)=141$ である．

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