2025年(令和7年)東京大学-数学(文科)

[1] を正の実数とする．座標平面において，放物線 上の点 における の接線と直交し， を通る直線を とおく． と の交点のうち， と異なる点を とおく．

(1) の 座標を求めよ．

における の接線と直交し， を通る直線を とおく． と の交点のうち， と異なる点を とおく．

(2) がすべての正の実数を動くとき， の 座標の最小値を求めよ．

[2] 平面上で である二等辺三角形 を考える．正の実数 に対し， それぞれを中心とする半径 の円3つを合わせた領域を とする．ただし，この問いでは，三角形と円は周とその内部からなるものとする．辺 がすべて に含まれるような最小の を ，三角形 が に含まれるような最小の を と表す．

(1) のとき， と を求めよ．
(2) のとき， と を求めよ．
(3) を満たす に対して， のとき，
と を を用いて表せ．

[3] 白玉2個が横に並んでいる．投げたとき表と裏のでる確率がそれぞれ のコインを
用いて，次の手順(＊)をくり返し，白玉または黒玉を横一列に並べていく．

手順(＊) コインを投げ，表がでたら白玉，裏がでたら黒玉を，それまでに並べられている一番右にある玉の右隣におく．そして，新しくおいた玉の色がその1つ左の玉の色と異なり，かつ2つ左の玉の色と一致するときには，新しくおいた玉の1つ左の玉を新しくおいた玉と同じ色の玉にとりかえる．

例えば，手順(＊)を2回行いコインが裏，表の順にでた場合には，白玉が4つ並ぶ．正の整数 に対して，手順(＊)を 回行った時点での 個の玉の並び方を考える．

(1) のとき，右から2番目の玉が白玉である確率を求めよ．

(2) を正の整数とする．右から2番目の玉が白玉である確率を求めよ．

(3) を正の整数とする．右から1番目と2番目の玉がともに白玉である確率を求めよ．

[4] を実数とする．座標平面において，次の連立不等式の表す領域の面積を とする．

が の範囲を動くとき， の最大値を求めよ．