2024年(令和6年)東京大学-数学(理科)

[1] 座標空間内の点 をとる． 平面上の点 が次の条件(i)，(ii)，(iii) をすべて満たすとする．

(i) は原点 と異なる．

(ii)

(ii)

がとりうる範囲を 平面上に図示せよ．

[2] 次の関数 を考える．
（）

(1) を満たす実数 で， となるものを求めよ．

(2) (1)で求めた に対し， の値を求めよ．

(3) 関数 の区間 における最大値と最小値を求めよ．必要ならば， であることを用いてよい．

[3] 座標平面上を次の規則(i)，(ii)に従って1秒ごとに動く点 を考える．

(i) 最初に， は点 にいる．

(ii) ある時刻で が点 にいるとき， その 1 秒後には は

確率でx軸に関して と対称な点
確率でy軸に関して と対称な点
確率で軸に関して と対称な点
確率で軸に関して と対称な点

にいる．以下の問いに答えよ．ただし，(1)については， 結論のみを書けばよい．

(1) がとりうる点の座標をすべて求めよ．

(2) を正の整数とする．最初から 秒後に が点 にいる確率と， 最初から 秒後に が点 にいる確率は等しいことを示せ．

(3) を正の整数とする．最初から 秒後に が点 にいる確率を求めよ．

[4] とおく． を満たす実数 に対し，座標平面上の点 を通り，この点において放物線 との共通の接線を持ち， 軸上に中心を持つ円を とする．

(1) 円 の中心の座標を ，半径を とおく． と を の整式で表せ．

(2) 実数 は を満たすとする．円 が点 を通るような実数 は の範囲にいくつあるか．

[5] 座標空間内に3点 ，， をとり， を線分 の中点とする．三角形 の周および内部を 軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ．

[6] 2以上の整数で，1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という．以下の問いに答えよ．

(1) とする． が素数となるような整数 をすべて求めよ．
(2) を整数の定数とし， とする． が素数となるような整数 の個数は3個以下であることを示せ．