https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2023/Rika

2023.11.22記

[1] (1) 正の整数 $k$ に対し， $A_k=\displaystyle\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}}|\sin(x^2)|dx$ とおく．次の不等式が成り立つことを示せ．
$\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq A_k \leqq \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$

(2) 正の整数 $n$ に対し，
$B_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{2n\pi}}|\sin(x^2)|dx$
とおく．極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n$ を求めよ．

本問のテーマ

$f(x) |\sin nx|$ の積分の極限

2023.11.22記
(1) 積分を $\dfrac{1}{x}$ で評価したいので $x^2=t$ とおいて $\displaystyle\int\dfrac{1}{2\sqrt{t}}|\sin t|dt$ を作って $\displaystyle\int_0^{\pi} |\sin t|dt=2$ と結びつける．

(2) 形から区分求積法．(1)の両辺の区分求積からはさみうちで示す．

[解答]
$t=x^2$ と置換すると
$A_k=\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \dfrac{1}{2\sqrt{t}}|\sin t|dt$
で $|\sin t|\geqq 0$ から
$\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t|dt$ $\leqq A_k$ $\leqq \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t|dt$
となるが， $\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t|dt=2$ により
$\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq A_k \leqq \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$
である．

(2) $\sqrt{\pi}B_n=C_n$ とおくと (1) より
$\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{k}{n}}}\leqq C_n$ $\leqq \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{k}{n}}}$
である．区分求積法により
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{k}{n}}}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{k}{n}}}=\int_1^2\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{2}-2$
であるから，はさみうちの原理から
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}C_n=2\sqrt{2}-2$
となり，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n=\dfrac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{\pi}}$

結局，
$B_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\int_{n\pi}^{2n\pi} \dfrac{1}{2\sqrt{t}}|\sin t|dt$
となり， $n\pi u = t$ と置換すると
$B_n=\sqrt{\pi}\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{2 \sqrt{u}}|\sin (n\pi u)| du$
が成立する．

1989年(昭和64年)東京工業大学-数学[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
のように，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\int_a^b f(x) |\sin nx|dx=\dfrac{2}{\pi}\int_a^b f(x) dx$ ，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\int_a^b f(x) |\sin n\pi x|dx=\dfrac{2}{\pi}\int_a^b f(x) dx$
となることは有名．

[大人の解答]
(2) $t=x^2$ ， $u=\dfrac{t}{n\pi}$ と置換すると
$B_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\int_{n\pi}^{2n\pi} \dfrac{1}{2\sqrt{t}}|\sin t|dt$
$=\sqrt{\pi}\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{2 \sqrt{u}}|\sin (n\pi u)| du$
$=\sqrt{\pi}\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{2 \sqrt{u}}du\times\dfrac{2}{\pi}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{u}}du$ $=\dfrac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{\pi}}$

2023.11.27記
1978年(昭和53年)静岡大学-数学[x] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR も参照のこと．