2023年(令和5年)東京大学-数学(理科)

[1] (1) 正の整数 に対し， とおく．次の不等式が成り立つことを示せ．

(2) 正の整数 に対し，

とおく．極限 を求めよ．

[2] 黒玉3個，赤玉4個，白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる．ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする．

(1) どの赤玉も隣り合わない確率 を求めよ．

(2) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 を求めよ．

[3] を実数とし，座標平面上の点 を中心とする半径1の円の周を とする．

(1) が，不等式 の表す領域に含まれるような の範囲を求めよ．

(2) は(1)で求めた範囲にあるとする． のうち かつ を満たす部分を とする． 上の点 に対し，点 での の接線が放物線 によって切り取られてできる線分の長さを とする． となる 上の相異なる2点 ， が存在するような の範囲を求めよ．

[4] 座標空間内の4点 ，，， を考える．

(1) ，， を満たす点 の座標を求めよ．

(2) 点 から直線 に垂線を下ろし，その垂線と直線 の交点を とする． を と を用いて表せ．

(3) 点 を により定め， を中心とする半径 の球面 を考える． が三角形 と共有点を持つような の範囲を求めよ．ただし，三角形 は3点 ，， を含む平面内にあり，周とその内部からなるものとする．

[5] 整式 を考える．

(1) を実数を係数とする整式とし， を で割った余りを とおく． を で割った余りと を で割った余りが等しいことを示せ．

(2) ， を実数とし，と おく． を で割った余りを とおき， を で割った余りを とおく． が に等しくなるような ， の組をすべて求めよ．

[6] を原点とする座標空間において，不等式 ，， の表す立方体を考える．その立方体の表面のうち， を満たす部分を とする．以下，座標空間内の2点 ， が一致するとき，線分 は点 を表すものとし，その長さを と定める．

(1) 座標空間内の点 が次の条件(i)，(ii)をともに満たすとき，点 が動きうる範囲 の体積を求めよ．

(i)

(ii) 線分 と は，共有点を持たないか，点 のみを共有点に持つ．

(2) 座標空間内の点 と点 が次の条件(iii)，(iv)，(v)をすべて満たすとき，点 が動きうる範囲 の体積を求めよ．必要ならば， を満たす実数 を用いてよい．

(iii)

(iv) 線分 と は共有点を持たない．

(v) 線分 と は，共有点を持たないか，点 のみを共有点に持つ．